https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2020/Rikei

[1] $a, \, b$ は実数で， $a > 0$ とする． $z$ に関する方程式 $z^3+3az^2+bz+1=0\cdots（\ast）$
は3つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺の長さが $\sqrt{3}a$ の正三角形の頂点となっているとする．
このとき， $a, \, b$ と $（\ast）$ の3つの解を求めよ．

2020.03.02記

[解答]

一辺の長さが $\sqrt{3}a$ ということは，重心と頂点の距離は $a$ である．実数係数の3次方程式は少なくとも1つの実数解をもつので，3つの解のうち1つは実数であり，3つの解が正三角形の頂点をなすことから，3つの解を $p+q,p+q\omega, p+q\omega^2$ （ $q=a$ または $q=-a$ ）とおくことができる．ここで $p$ は実数で $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ であり， $i$ は虚数単位とする．

この3つの解の和は $3p$ だから解と係数の関係により $p=-a$ となるので，これらを解とする3次方程式は
$(z+a-q)(z+a-q\omega)(z+a-q\omega^2)$ $=(z+a)^3-q^3$ $=z^3+3az^2+3a^2z+a^3-q^3$
となるが，定数項が1となることから $q=a$ は不適で $q=-a$ である．

このとき $b=3a^2$ ， $2a^3=1$ であるから $a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ ， $b=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$ となるので，3つの解は， $p=q=-a$ に注意すると， $-2a,\,-(1+\omega)a,\,-(1+\omega^2)a$ となる．

よって3つの解は $-2a,-\dfrac{1\pm\sqrt{3}i}{2}a$ に $a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ を代入したものとなり， $-\dfrac{2}{\sqrt[3]{2}},\,\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}$ となる．

2024.04.12記

京大理系2020第1問です．正三角形の外接円の半径がaであることなどに着目すれば，ほぼ暗算で答を導けます． pic.twitter.com/2xO9smnqDY
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) 2024年4月11日

この一連のTweet(Post)は結局，上の[解答]の

3つの解を $p+q,p+q\omega, p+q\omega^2$ とおくことができるので，これらを解とする3次方程式は
$(z-p-q)(z-p-q\omega)(z-p-q\omega^2)$ $=(z-p)^3-q^3$
とおける，という部分に対応している．

結局，「3つの $z$ が正三角形をなす」とき，複素平面上で回転拡大と平行移動，つまり
$w=\alpha z+\beta$ （ $\alpha，\beta\in\mathbb{C}$ ）
とおくと $w^3=1$ (一辺 $\sqrt{3}$ )に移すことができるという訳で，本問の場合は
回転拡大ではなく回転と平行移動によって一辺 $\sqrt{3}a$ の正三角形に移すことができるので，
$z^3+3az^2+bz+1=0\cdots（\ast）$
が
$(\alpha z+\beta)^3-a^3=0$
（ $\alpha，\beta\in\mathbb{C}$ ， $|\alpha|=1$ ）
の形に変形できることが必要十分となる．
ここで $\dfrac{\beta}{\alpha}=\gamma$ とおくと
$(z+\gamma)^3-\dfrac{a^3}{\alpha^3}$
$=z^3+3\gamma z^2+3\gamma^2 z+\gamma^3-\dfrac{a^3}{\alpha^3}=0$
と
$z^3+3az^2+bz+1=0\cdots（\ast）$
が同じ3次方程式となるので，
$\gamma=a$ ，
$3\gamma^2=b$ ，
$\gamma^3-\dfrac{a^3}{\alpha^3}=1$
が成立する．よって $\alpha$ は実数だから $\alpha=\pm 1$ のいずれかで
$b=3a^2$ ， $(1\mp 1)a^3=1$
が成立する． $a\gt 0$ より
$\alpha=-1$ ， $a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ ， $b=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$
と求まり，
$z=-\gamma+\dfrac{a}{\alpha}，-\gamma+\dfrac{a}{\alpha}\omega，-\gamma+\dfrac{a}{\alpha}\omega^2$
つまり
$z=-a-a，-a-a\omega，-a-a\omega^2$
が解となる．