2020年(令和2年)京都大学数学(理系)

[1] は実数で，とする．に関する方程式
は3つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする．
このとき，との3つの解を求めよ．

[2] を正の整数とする．はに関する方程式の2つの解で，であるとする．

(1)すべての正の整数に対し，は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．

(2) 極限を求めよ．

[3] を正の実数とする．座標空間において，原点 を中心とする半径1の球面上の4点 が次の関係式を満たしている．



このとき， の値を求めよ．ただし，座標空間の点 に対して，は， と の内積を表す．

[4] 正の整数に対して， ( ， は整数で は 3 で割り切れない )
の形に書いたとき，と定める．例えば，である．

は整数で，次の条件を満たすとする．

(i)．
(ii)．
(iii)は3で割り切れない．

このようなについてとするとき，

の最大値を求めよ．また，の最大値を与えるようなをすべて求めよ．[5] 縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．

下図はこのような入れ方の1例である．

1	2	3	4
3	4	1	2
4	1	2	3
2	3	4	1

[6] を座標とする空間において，平面内の曲線 を軸のまわりに1回転させるとき，この曲線が通過した部分よりなる図形をとする．このをさらに軸のまわりに1回転させるとき，が通過した部分よりなる立体をとする．このとき，の体積を求めよ．