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2020年(令和2年)京都大学数学(文系)[2]

[2] $x$ の2次関数で，そのグラフが $y=x^2$ のグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ．ただし，2つの関数のグラフがある点で直交するとは，その点が2つのグラフの共有点であり，かつ接線どうしが直交することをいう．

2020.03.04記

[解答]

$f(x)=x^2$ とし、求める2次関数を $y=g(x)=px^2+qx+r(p\neq 0)$ とすると $g(x)=f(x)$ が2つの実数解をもつので、 $p\neq 1$ が必要である．

このとき、2つの解を $\alpha,\beta(\alpha\neq\beta)$ とおくと
$g(x)-f(x)=(p-1)(x-\alpha)(x-\beta)$
と因数分解でき、
$f'(\alpha)g'(\alpha)+1=f'(\beta)g'(\beta)+1=0$
となる。よって
$f'(x)g'(x)+1=2x(2px+q)+1$ $=\dfrac{4p}{p-1}\{g(x)-f(x)\}$ $=\dfrac{4p}{p-1}\{(p-1)x^2+qx+r\}$
が成立する。係数比較により
$2q=\dfrac{4pq}{p-1},\, 1=\dfrac{4pr}{p-1}$
が成立する。

(1) $q=0$ のとき、
$r=\dfrac{p-1}{4p}$ だから $y=px^2+\dfrac{p-1}{4p}$ となる．
$g(x)-f(x)$ の判別式を考えて $p<0$

(2) $q\neq 0$ のとき、
$p=-1, r=\dfrac{1}{2}$ だから $y=-x^2+qx+\dfrac{1}{2}$ となる．
$g(x)-f(x)$ の判別式を考えて $q$ は任意の実数

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