https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2020/Bunkei

[1] $a$ を負の実数とする． $xy$ 平面上で曲線 $C:y=|x|x-3x+1$ と直線 $l:y=x+a$ のグラフが接するときの $a$ の値を求めよ．このとき， $C$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

[2] $x$ の2次関数で，そのグラフが $y=x^2$ のグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ．ただし，2つの関数のグラフがある点で直交するとは，その点が2つのグラフの共有点であり，かつ接線どうしが直交することをいう．

[3] $a$ を奇数とし，整数 $m, \, n$ に対して， $f(m, \, n)=mn^2+am^2+n^2+8$ とおく． $f(m, \, n)$ が16で割り切れるような整数の組 $(m, \, n)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ．

[4] $k$ を正の実数とする．座標空間において，原点 $\rm O$ を中心とする半径1の球面上の4点 $\rm A, \, B, \, C, \, D$ が次の関係式を満たしている．
$\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OC}\cdot\overrightarrow{\rm OD}=\dfrac{1}{2},$
$\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OC}=-\dfrac{\sqrt6}{4},$
$\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OD}=\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OD}=k$
このとき， $k$ の値を求めよ．ただし，座標空間の点 $X, \, Y$ に対して， $\overrightarrow{\rm OX}\cdot\overrightarrow{\rm OY}$ は， $\overrightarrow{\rm OX}$ と $\overrightarrow{\rm OY}$ の内積を表す．

[5] 縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．

下図はこのような入れ方の1例である．

1	2	3	4
3	4	1	2
4	1	2	3
2	3	4	1

2020年(令和2年)京都大学数学(文系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2020年(令和2年)京都大学数学(文系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
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2020年(令和2年)京都大学数学(文系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
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