https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2019/Rikei

2025.04.20記

[6] $i$ は虚数単位とする． ${(1+i)}^n+{(1-i)}^n\gt {10}^{10}$ をみたす最小の正の整数 $n$ を求めよ．

（対数表は省略）

2025.04.30記

[解答]
$1\pm i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}\pm i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ から
${(1+i)}^n+{(1-i)}^n=2^{\frac{n}{2}+1}\cos\dfrac{n\pi}{4}$ …(★)
が成立する． $\cos\dfrac{n\pi}{4}$ が正となるのは $n$ が $8m-1，8m，8m+1$ （ $m$ は整数）となる場合である．

このとき(★)の値は $2^{4m}，2^{4m+1}，2^{4m+1}$ となる．そこで $2^k\gt 10^{10}$ ，つまり $k\gt \dfrac{10}{\log_{10} 2}$ を満たす最小の $k$ を求める．

対数表により $33=\dfrac{10}{0.3030\cdots}\lt \dfrac{10}{\log_{10} 2}\lt \dfrac{10}{0.3}=33.33\cdots$ であるから，条件を満たす最小の $k$ は $34$ となるので $2^{4m}=2^{36}$ ， $n=8m-1$ のときが求める場合である．よって $m=9$ となり， $n=71$ となる．