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2019年(平成31年)京都大学-数学(理系)[5]

2025.04.20記

[5] 半径 $1$ の球面上の5点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}_1$ ， $\mbox{B}_2$ ， $\mbox{B}_3$ ， $\mbox{B}_4$ は，正方形 $\mbox{B}_1\mbox{B}_2\mbox{B}_3\mbox{B}_4$ を底面とする四角錐をなしている．この $5$ 点が球面上を動くとき，四角錐 $\mbox{A}\mbox{B}_1\mbox{B}_2\mbox{B}_3\mbox{B}_4$ の体積の最大値を求めよ．

2025.04.30記
1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
を思い出したが，これに比べると易しい．

[解答]
$xyz$ 空間で考え，球面の中心を原点とし，正方形のある平面を $z=k$ （ $0\leqq k\lt 1$ ）とする．このとき正方形の対角線の半分の長さが $\sqrt{1-k^2}$ であるから正方形の面積は $2(1-k^2)$ となる．この状況において四角錐の体積が最大となるのは $\mbox{A}$ が $(0，0，-1)$ のときであり，その最大値は $V(k)=\dfrac{2}{3}(1-k^2)(k+1)=\dfrac{2}{3}(1-k)(k+1)^2$ である． $V(k)$ の $0\leqq k\lt 1$ における最大値は3次関数の箱を考えて $k=\dfrac{1}{3}$ のときであり，その最大値は $\dfrac{64}{81}$ である．

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