https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2019/Rikei

2025.04.20記

[4] $1$ つのさいころを $n$ 回続けて投げ，出た目を順に $X_1$ ， $X_2$ ， $\cdots$ ， $X_n$ とする．このとき次の条件をみたす確率を $n$ を用いて表せ．ただし $X_0=0$ としておく．

条件： $1 \leqq k \leqq n$ をみたす $k$ のうち， $X_{k-1}\leqq4$ かつ $X_k\geqq5$ が成立するような $k$ の値はただ1つである．

2025.04.29記

[解答]
$X_i=1〜4$ であることを $X_i=a$ ，さいころの目が $X_i=5，6$ であることを $X_i=A$ とすると $X_i$ （ $1\leqq i\leqq n$ ）が $a$ である確率は $\dfrac{2}{3}$ であり， $A$ である確率は $\dfrac{1}{3}$ である．また $X_0=a$ とし， $n+1$ 回目も投げるものとして $X_{n+1}=a$ とする．

このとき条件を満たすのは「 $a$ から $A$ となるのは1回だけである」ということであるから，「 $A$ が少なくとも1回出てすべての $A$ が連続して出る」場合である．

ここで $A$ が連続 $m$ 回（ $1\leqq m\leqq n$ ）出る場合の数は $n-m+1$ 通りであり，それぞれの確率は $\dfrac{2^{n-m}}{3^n}$ であるから，求める確率は
$\displaystyle\sum_{m=1}^n (n-m+1)\dfrac{2^{n-m}}{3^n}$ $=\dfrac{1}{3^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)2^{k}$ （ $n-m=k$ とおく）
$=\dfrac{1}{3^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \left\{ \bigl((k+1)-1\bigr)2^{k+1}-(k-1)2^{k}\right\}$ $=\dfrac{(n-1)2^{n}+1}{3^n}$
となる．