https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2019/Rikei

2025.04.20記

[3] 鋭角三角形 $\mbox{ABC}$ を考え，その面積を $\mbox{S}$ とする． $0\lt t\lt 1$ をみたす実数 $t$ に対し，線分 $\mbox{AC}$ を $t:1-t$ に内分する点を $\mbox{Q}$ ，線分 $\mbox{BQ}$ を $t:1-t$ に内分する点を $\mbox{P}$ とする．実数 $t$ がこの範囲を動くときに点 $\mbox{P}$ の描く曲線と，線分 $\mbox{BC}$ によって囲まれる部分の面積を， $\mbox{S}$ を用いて表せ．

本問のテーマ

線形変換の保存量（平行線分比，面積比）
シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

シンプソンの公式（ケプラーの樽公式） - 球面倶楽部零八式 mark II

2025.04.29記

[大人の解答]
逆変換をもつ線形変換しても内分比と面積は保存するので $\mbox{A}(0，0)$ ， $\mbox{B}(0，1)$ ， $\mbox{C}(1，0)$ としても一般性を失わない．このとき $\mbox{Q}(t，0)$ ， $\mbox{P}(t^2，1-t)$ であるから $\rm P$ は放物線 $x=(y-1)^2$ を描く．ここで $t=0$ で $\rm P=B$ ， $t=1$ で $\rm P=A$ となる．

三角形 $\rm ABC$ の面積は $\dfrac{1}{2}$ で，三角形 $\rm ABC$ から「点 $\mbox{P}$ の描く曲線と，線分 $\mbox{BC}$ によって囲まれる部分」を除いた部分の面積は $\displaystyle\int_0^1 (y-1)^2\,dy=\dfrac{1}{3}$ であるから「点 $\mbox{P}$ の描く曲線と，線分 $\mbox{BC}$ によって囲まれる部分」の面積は $\dfrac{1}{6}$ となり三角形 $\rm ABC$ の面積の $\dfrac{1}{3}$ となる．

よって求める面積は $\dfrac{1}{3}\mbox{S}$ となる．

点 $\mbox{P}$ の描く曲線と，線分 $\mbox{BC}$ によって囲まれる部分の面積を求めるので線分 $\mbox{BC}$ が $x$ 軸となるように座標を設定する．このとき $t=0$ で $\rm P=B$ ， $t=1$ で $\rm P=A$ となるので $\rm B$ を原点に設定する．

[解答]
三角形 $\rm ABC$ は鋭角三角形なので $\mbox{B}(0，0)$ ， $\mbox{A}(p，q)$ ， $\mbox{C}(r，0)$ （ $0\lt p\lt r$ ， $q\gt 0$ ）と座標を設定することができ，このとき $\mbox{Q}(rt+p(1-t)，q(1-t)$ ， $\mbox{P}(x，y)=\bigl((r-p)t^2+pt，qt(1-t)\bigr)$ となる．

$t=0$ で $\rm P=B$ ， $t=1$ で $\rm P=A$ であり， $0\lt t\lt 1$ で $x$ は(係数が全て正だから)単調増加となるので，「点 $\mbox{P}$ の描く曲線と，線分 $\mbox{BC}$ によって囲まれる部分」の面積は
$\displaystyle\int_{t=0}^{t=1} y dx$ $=\displaystyle\int_{0}^{1} qt(1-t)\{2(r-p)t+p\} dx$
$=\dfrac{1-0}{6}\left\{ 0 + 4\cdot q\cdot \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot \left\{2(r-p)\cdot\dfrac{1}{2}+p\right\}+0 \right\}$
（ケプラーの樽公式を使用）
$=\dfrac{qr}{6}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{qr}{2}=\dfrac{1}{3}S$
となる．