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2019-04-29

2019年(平成31年)京都大学-数学(理系)[1]問２

2025.04.20記

[1] 問２次の定積分の値を求めよ．
(1) $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{x}{\cos^2x}dx$
(2) $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{dx}{\cos x}$

2025.04.29記

[解答]
(1) $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{x}{\cos^2x}dx$ $=\Bigl[ x\tan x + \log |\cos x| \Bigr]_0^{\frac{\pi}{4}}$ $=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\log 2$

(2) $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{dx}{\cos x}$ $=\Bigl[\dfrac{1}{2}\log \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{4}}$ $=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ $=\log(\sqrt{2}+1)$

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