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2019年(平成31年)京都大学-数学(理系)[1]問１

2025.04.20記

[1] 問１ $\displaystyle0\lt \theta\lt \frac{\pi}{2}$ とする． $\cos\theta$ は有理数ではないが， $\cos2\theta$ と $\cos3\theta$ がともに有理数となるような $\theta$ の値を求めよ．ただし， $p$ が素数のとき， $\sqrt{p}$ が有理数でないことは証明なしに用いてよい．

2025.04.29記
$\theta$ の値を求めるのだから有名角になると考えると $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ が題意を満たすことがわかる．

[解答]
$\cos\theta=a$ とおくと $\cos2\theta=2a^2-1$ ， $\cos 3\theta=4a^3-3a=(4a^2-3)a$ が成立する．

$\cos2\theta$ が有理数であることから $a^2$ は有理数であり，よって $4a^2-3$ は有理数である．

$a=\cos\theta$ が無理数で $a(4a^2-3)=\cos3\theta$ が有理数となるので $4a^2-3=0$ となり， $a^2=\dfrac{3}{4}$ は有理数であるから $\cos2\theta$ ， $\cos3\theta$ は有理数である．

ここで $\theta$ は鋭角であるから $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる．ここで $3$ は素数であるから $\sqrt{3}$ は無理数となり，よって $\cos\theta$ は無理数となる．

よって $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ となる．

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