2019年(平成31年)京都大学-数学(理系)

[1] 次の各問に答えよ．
問１ とする． は有理数ではないが， と がともに有理数となるような の値を求めよ．ただし， が素数のとき， が有理数でないことは証明なしに用いてよい．

問２ 次の定積分の値を求めよ．
(1)
(2)

[2] とする． と がともに素数となる整数 をすべて求めよ．

[3] 鋭角三角形 を考え，その面積を とする． をみたす実数 に対し，線分 を に内分する点を ，線分 を に内分する点を とする．実数 がこの範囲を動くときに点 の描く曲線と，線分 によって囲まれる部分の面積を， を用いて表せ．

[4] つのさいころを 回続けて投げ，出た目を順に ，，， とする．このとき次の条件をみたす確率を を用いて表せ．ただし としておく．

条件： をみたす のうち， かつ が成立するような の値はただ1つである．

[5] 半径 の球面上の5点 ，，，， は，正方形 を底面とする四角錐をなしている．この 点が球面上を動くとき，四角錐 の体積の最大値を求めよ．

[6] は虚数単位とする． をみたす最小の正の整数 を求めよ．