https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2019/Bunkei

2025.04.20記

[3] $a$ ， $b$ ， $c$ は実数とする．次の命題が成立するための， $a$ と $c$ がみたすべき必要十分条件を求めよ．さらに，この $(a，c)$ の範囲を図示せよ．

命題：すべての実数 $b$ に対して，ある実数 $x$ が不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ をみたす．

2025.05.02記
$a=0$ のときは一次不等式になる．

[解答]
(i) $a=0$ のとき：
$b=0$ に対して $c\lt 0$ とならなければならず，このときすべての $b$ に対して $x=0$ を選べば良いので求める必要十分条件は $c\lt 0$ である．

(ii) $a\lt 0$ のとき：
$y=ax^2+bx+c$ は上に凸な放物線であるから，すべての $b$ に対して二次不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ は解を持つ．

(iii) $a\gt 0$ のとき：
二次不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ が解を持つ条件は $b^2-4ac\gt 0$ であり，この条件がすべての $b$ で成立するための必要十分条件は $ac\lt 0$ （ $a\gt 0$ だから $c\lt 0$ ）である．

以上から求める必要十分条件は

「 $a\lt 0$ 」または「 $a=0$ かつ $c\lt 0$ 」または「 $a\gt 0$ かつ $c\lt 0$ 」

つまり「 $a\geqq 0$ かつ $c\geqq 0$ ではない」となる（図示略）．