https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2019/Bunkei

2025.04.20記

[2] $a$ は実数とし， $b$ は正の定数とする． $x$ の関数 $f(x)=x^2+2(ax+b|x|)$ の最小値 $m$ を求めよ．さらに， $a$ の値が変化するとき， $a$ の値を横軸に， $m$ の値を縦軸にとって $m$ のグラフをかけ．

2025.05.02記
$f(x)$ は2つの下に凸な関数 $x^2+2ax$ ， $2b|x|$ の和なので下に凸な関数になり，局所的に定数部分となる箇所は存在しないので， $f(x)$ の最小値を与える $x$ は1つに限る．

[解答]
$f_{-}(x)=x^2+2(a-b)x=\{x-(-a+b)\}^2-(a-b)^2$ ， $f_{+}(x)=x^2+2(a+b)x=\{x-(-a-b)\}^2-(a+b)^2$ とおくと
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} f_{-}(x) & (x\leqq 0) \\ f_{+}(x) & (x\geqq 0) \end{array}\right.$
が成立し， $y=f_{-}(x)$ の頂点が変域内に入る条件は $b\leqq a$ ， $y=f_{+}(x)$ の頂点が変域内に入る条件は $a\leqq -b$ である．

(i) $a\leqq -b$ のとき $x\leqq 0$ の範囲では単調減少で， $x\geqq 0$ の範囲では $y=f_{+}(x)$ の頂点において最小値をとるので， $m=-(a+b)^2$ となる．

(ii) $-b\leqq a\leqq b$ のとき $x\leqq 0$ の範囲では単調減少で， $x\geqq 0$ の範囲では単調増加だから $x=0$ において最小値をとるので， $m=0$ となる．

(iii) $b\leqq a$ のとき $x\leqq 0$ の範囲では $y=f_{-}(x)$ の頂点において最小値をとり， $x\geqq 0$ の範囲では単調増加だから， $m=-(a-b)^2$ となる．

(i)〜(iii)を図示して次図を得る．

極値と端点（今回は端点はない）を繋ぐ有名な方法を適用すると次のようになる．

[うまい解答]
$f_{-}(x)=x^2+2(a-b)x=\{x-(-a+b)\}^2-(a-b)^2$ ， $f_{+}(x)=x^2+2(a+b)x=\{x-(-a-b)\}^2-(a+b)^2$ とおくと
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} f_{-}(x) & (x\leqq 0) \\ f_{+}(x) & (x\geqq 0) \end{array}\right.$
であるから，極値は $x=-a+b$ （ $-a+b\leqq 0$ ）， $x=-a-b$ （ $-a-b\geqq 0$ ）， $x=0$ （これが極値となる条件はその前後で傾きの符号が変化することであるが， $x=0$ は変域に常に含まれるので，その条件を考える必要はない）となる．

よって $m=-(a-b)^2$ （ $b\leqq a$ ）， $m=-(a+b)^2$ （ $a\leqq -b$ ）， $m=0$ を描いてその中で最小のものを選べば良い．