https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2019/Bunkei_1

2025.04.20記

[1] 問２ $8.94^{18}$ の整数部分は何桁か．また最高位からの2桁の数字を求めよ．例えば， $12345.6789$ の最高位からの2桁は12を指す．

（対数表は省略）

2025.05.02記
$\log_{10} 8.94\approx 0.95=1-\dfrac{1}{20}$ なので $18\log_{10} 8.94\approx 0.95=18-\dfrac{9}{10}=17.1$ となり， $18\log_{10} 8.94$ はそれよりも少し大きい程度なので，
$0.95125\leqq \log_{10}8.94\lt 0.95135$
まで精密に計算する必要はない．実際前半は $0.95\lt \log_{10}8.94\lt 0.96$ が成立するので
$18\times 0.95=17.1\lt \log_{10}8.94^{18}\lt 17.1+0.18=17.28$
となり，この精度で $8.94^{18}$ の整数部分は $18$ 桁となることがわかる．

通常，最高位の桁数を見るときは微妙なものを除いて
$0.30，0.47，0.60，0.69，0.77，0.84，0.90，0.95$
のように小数第2位あたりまで見れば良い．与えられた対数表を眺めてみると，最高位2桁の数を見るときは微妙なものを除いて小数第3位まで見れば良さそうとあたりをつける．

[解答]
$8.94^{18}=A\times 10^n$ （ $0\lt A\lt1$ ）とおくと，この整数部分は $n+1$ 桁となる．

対数表により $0.951\lt \log_{10}8.94\lt 0.952$ が成立するので
$18\times 0.951=17.118\lt \log_{10}8.94^{18}=n+\log_{10}A \lt 17.118+0.018=17.136$
となり， $n=17$ ， $0.118\lt \log_{10} A\lt 0.136$ となる．ここで対数表により
$\log_{10} 1.30\lt 0.114 \lt \log_{10} A \lt 0.136 \lt \log_{10}1.37$
であるから
$1.30\times 10^{17}\lt 8.94^{18}\lt 1.37\times 10^{17}$
が成立する．

よって $8.94^{18}$ の整数部分は $18$ 桁であり，最高位からの2桁の数字は $13$ である．

$0.95125\leqq \log_{10}8.94\lt 0.95135$ から $0.1225\leqq \log_{10} A\lt 0.1243$ となり，
$\log_{10} 1.32 \lt \log_{10} A \lt \log_{10}1.34$
が成立します．