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2019年(平成31年)京都大学-数学(文系)[1]問１

2025.04.20記

[1] 問１ $a$ は実数とする． $x$ に関する整式 $x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$ を整式 $x^3+x^2+x+1$ で割ったときの商を $Q(x)$ ，余りを $R(x)$ とする． $R(x)$ の $x$ の1次の項の係数が $1$ のとき， $a$ の値を定め，さらに $Q(x)$ と $R(x)$ を求めよ．

2025.05.01記
係数比較は割り算の基本の一つ．

[うまい解答]
$x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$ $=(x^3+x^2+x+1)Q(x)+sx+t$
において $x^5，x^4，x^2$ の係数を比較すると $Q(x)=x^2+x+1$ であり，このとき
$x^3$ の係数を比較すると $a=3$ となり，
$x$ の係数と定数項を比較すると $2+s=3，1+t=2$ であるから $s=t=1$ となり $R(x)=x+1$ となる．

[解答]
$x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$ $=(x^3+x^2+x+1)(px^2+qx+r)+sx+t$
に $x=-1，i$ （ $i$ は虚数単位）を代入すると $1-a=-s+t$ ， $1+(4-a)i=si+t$ （ $s，t，a$ は実数）から $s=t=1，a=3$ が得られ，
$a=3$ ， $R(x)=x+1$ となる．

このとき $x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1$ $=(x^3+x^2+x+1)Q(x)$
が成立し，実際に割り算をすることにより $Q(x)=x^2+x+1$ が得られる．

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