https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Rikei

2025.05.02記

[6] 四面体 $\mbox{ABCD}$ は $\mbox{AC}=\mbox{BD}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BC}$ を満たすとし，辺 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{P}$ ，辺 $\mbox{CD}$ の中点を $\mbox{Q}$ とする．

(1) 辺 $\mbox{AB}$ と線分 $\mbox{PQ}$ は垂直であることを示せ．

(2) 線分 $\mbox{PQ}$ を含む平面 $\alpha$ で四面体 $\mbox{ABCD}$ を切って $2$ つの部分に分ける．このとき， $2$ つの部分の体積は等しいことを示せ．

本問のテーマ

線形変換の保存量(2025.05.05)

2025.05.04記
(2) の性質には $\mbox{AC}=\mbox{BD}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BC}$ という条件は不要である．ただ $\mbox{AC}=\mbox{BD}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BC}$ という条件を設けることによってねじれの位置にある2直線 $\mbox{AB}$ ，直線 $\mbox{CD}$ の共通垂線が直線 $\mbox{PQ}$ となり，2直線の距離が $\mbox{PQ}$ となるので座標の設定が楽になるというだけの話である．

[解答]
(1) $\triangle\mbox{ACD}$ と $\triangle\mbox{BDC}$ において $\mbox{AC}=\mbox{BD}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BC}$ ， $\mbox{CD}=\mbox{DC}$ であるから $\triangle\mbox{ACD}\equiv \triangle\mbox{BDC}$ となる．よってそれぞれの三角形の中線の長さが等しいことにより $\mbox{AQ}=\mbox{BQ}$ となり， $\triangle\mbox{QAB}$ は二等辺三角形となる．よって $\mbox{AB}\perp\mbox{PQ}$ となる．

(2) 同様に $\triangle\mbox{CAB}\equiv\triangle\mbox{DBA}$ から $\triangle\mbox{PCD}$ は二等辺三角形となり $\mbox{CD}\perp\mbox{PQ}$ となる．よって直線 $\mbox{PQ}$ が $z$ 軸で $\alpha$ が $yz$ 平面となるように座標設定したとき， $\mbox{P}(0，0，p)$ ， $\mbox{Q}(0，0，-p)$ ， $\mbox{A}(a，b，p)$ ， $\mbox{B}(-a，-b，p)$ ， $\mbox{C}(c，d，-p)$ ， $\mbox{D}(-c，-d，-p)$ と表すことができる．直線 $\mbox{PQ} を軸として四面体 [tex:\mbox{ABCD}$ を $\pi$ 回転させると $\rm A\mapsto B，B\mapsto A，C\mapsto D，D\mapsto C$ となり四面体 $\mbox{ABCD}$ にぴったり重なるので，四面体の $x\geqq 0$ の部分の体積と $x\leqq 0$ の部分の体積は等しくなり，題意は示された．

(1) はベクトルを使っても良い．

[解答]
(1) $\mbox{PQ}$ の中点を原点 $\mbox{O}$ とし， $\overrightarrow{\mbox{OP}}=\vec{p}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{QC}}=\vec{c}$ とおくと $\mbox{P}(\vec{p})$ ， $\mbox{Q}(-\vec{p})$ ， $\mbox{A}(\vec{p}+\vec{a})$ ， $\mbox{B}(\vec{p}-\vec{a})$ ， $\mbox{C}(-\vec{p}+\vec{c})$ ， $\mbox{D}(-\vec{p}-\vec{c})$ となる．
$\overrightarrow{\mbox{AC}}=-\vec{a}-2\vec{p}+\vec{c}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BD}}=\vec{a}-2\vec{p}-\vec{c}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AD}}=-\vec{a}-2\vec{p}-\vec{c}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BC}}=\vec{a}-2\vec{p}+\vec{c}$ であるから， $|\overrightarrow{\mbox{AC}}|^2=|\overrightarrow{\mbox{BD}}|^2$ から $\vec{p}\bullet(\vec{a}-\vec{c})=0$ ， $|\overrightarrow{\mbox{AD}}|^2=|\overrightarrow{\mbox{BC}}|^2$ から $\vec{p}\bullet(\vec{a}+\vec{c})=0$ が成立し，よって $\vec{p}\bullet\vec{a}=\vec{p}\bullet\vec{c}=0$ となるので辺 $\mbox{AB}$ と線分 $\mbox{PQ}$ は垂直であり，辺 $\mbox{CD}$ と線分 $\mbox{PQ}$ は垂直である．

2025.05.05記
(2) の性質には $\mbox{AC}=\mbox{BD}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BC}$ という条件は不要である，と書いたのでその理由を書いておく．

任意の四面体に対して，それを正四面体に移す線形変換が存在する．

実際，本問の場合， $\vec{p}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ は線形独立であるから $\vec{p}\mapsto (0，0，1)$ ， $\vec{a}\mapsto (1，1，0)$ ， $\vec{c}\mapsto (1，-1，1)$ を満たす線形変換が存在し，この線形変換によって
$\mbox{A}\mapsto (1，1，1)$ ， $\mbox{B}\mapsto (-1，-1，1)$ ， $\mbox{C}\mapsto (1，-1，-1)$ ， $\mbox{D}\mapsto (-1，1，-1)$
に移されるので，四面体 $\mbox{ABCD}$ は正四面体に移る．正四面体は問題文の条件を満たすので(2)の結果も満たす．

この線形変換の逆変換を考え，線形変換によって体積比が保存されることから $\mbox{AC}=\mbox{BD}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BC}$ という条件は不要であり，

四面体 $\mbox{ABCD}$ において，辺 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{P}$ ，辺 $\mbox{CD}$ の中点を $\mbox{Q}$ とする．線分 $\mbox{PQ}$ を含む平面 $\alpha$ で四面体 $\mbox{ABCD}$ を切って $2$ つの部分に分けたとき， $2$ つの部分の体積は等しい．

ということが一般的に言える．