https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Rikei

2025.05.02記

[4] コインを $n$ 回投げて複素数 $z_1$ ， $z_2$ ， $\cdots$ ， $z_n$ を次のように定める．

(i) 1回目に表が出れば $z_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とし，裏が出れば $z_1=1$ とする．

(ii) $k=2$ ， $3$ ， $\cdots$ ， $n$ のとき， $k$ 回目に表が出れば $z_k=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}z_{k-1}$ とし，裏が出れば $z_k=\overline{z_{k-1}}$ とする．ただし， $\overline{z_{k-1}}$ は $z_{k-1}$ の共役複素数である．

このとき， $z_n=1$ となる確率を求めよ．

本問のテーマ

マルコフ過程

2025.05.04記

[解答]
$w=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおき， $z_n=\omega^{a_n}$ とおき， $a_n$ を $3$ で割った余りを $r_n$ とおき， $r_n$ が $0，1，2$ となる確率を $p_0(n)$ ， $p_1(n)$ ， $p_2(n)$ とおくと

(i) 1回目に表が出れば $r_1=1$ とし，裏が出れば $r_1=0$ とする．

(ii) $2\leqq k\leqq n$ のとき， $k$ 回目に表が出れば $r_{k-1}\mapsto r_k$ は $0\mapsto 1$ ， $1\mapsto 2$ ， $2\mapsto 0$ とし，表が出れば $r_{k-1}\mapsto r_k$ は $0\mapsto 0$ ， $1\mapsto 2$ ， $2\mapsto 1$ とする．

となるので， $p_0(1)=p_1(1)=\dfrac{1}{2}$ ， $p_2(1)=0$ であり， $k\geqq 2$ に対して
$p_0(k)=\dfrac{p_2(k-1)+p_0(k-1)}{2}$ ，
$p_1(k)=\dfrac{p_0(k-1)+p_2(k-1)}{2}=p_0(k)$ ，
$p_2(k)=\dfrac{p_1(k-1)+p_1(k-1)}{2}=p_1(k-1)$
が成立する．よって任意の自然数 $n$ に対して $p_0(n)=p_1(n)$ が成立し， $p_2(n)=1-2p_0(n)$ が成立するので
$k\geqq 2$ に対して $p_0(k)=\dfrac{1-p_0(k-1)}{2}$ ，
つまり
$p_0(k)-\dfrac{1}{3}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(p_0(k)-\dfrac{1}{3}\right)$ $=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\left(p_0(1)-\dfrac{1}{3}\right)$ $=\dfrac{1}{6}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
が成立する．よって
$p_0(n)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
が $z_n=1$ となる確率である．