https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Rikei

2025.05.02記

[3] $\alpha$ は $0\lt \alpha\leqq\dfrac{\pi}{2}$ を満たす定数とし，四角形 $\mbox{ABCD}$ に関する次の $2$ つの条件を考える．

(i) 四角形 $\mbox{ABCD}$ は半径 $1$ の円に内接する．

(ii) $\angle\mbox{ABC}=\angle\mbox{DAB}=\alpha$ ．

条件(i)と(ii)を満たす四角形のなかで， $4$ 辺の長さの積

$k=\mbox{AB}\cdot\mbox{BC}\cdot\mbox{CD}\cdot\mbox{DA}$

が最大となるものについて， $k$ の値を求めよ．

2025.05.04記

[解答]
条件から四角形 $\mbox{ABCD}$ は $\rm AD=BC$ の等脚台形である．

正弦定理から $\mbox{AC}=\mbox{BD}=2\sin\alpha$ であるからトレミーの定理により
$k=\mbox{AB}\cdot\mbox{BC}\cdot\mbox{CD}\cdot\mbox{DA}\leqq\dfrac{(\mbox{AB}\cdot \mbox{CD}+\mbox{AD}\cdot \mbox{BC})^2}{4}$ $=\dfrac{(\mbox{AC}\cdot \mbox{BD})^2}{4}=4\sin^2\alpha$
が成立する．等号は $\mbox{AB}\cdot \mbox{CD}=\mbox{AD}\cdot \mbox{BC}=\dfrac{\mbox{AC}\cdot \mbox{BD}}{2}=2\sin^2\alpha$ のときであるから， $\mbox{AD}=\mbox{BC}=\sqrt{2}\sin\alpha$ が成立するときである．

ここで $0\lt \alpha\leqq\dfrac{\pi}{2}$ であるから， $\sin\beta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha$ を満たす鋭角 $\beta$ （ $0\lt\beta\lt\alpha$ ）が存在し， $\angle\mbox{DBA}=\beta$ となるように点 $\rm D$ を選べば正弦定理により
$\mbox{AD}=\mbox{BC}=2\sin\beta=\sqrt{2}\sin\alpha$
が成立し，
$\mbox{AB}=2\sin(\alpha+\beta)\gt 0$ ， $\mbox{CD}=2\sin(\alpha-\beta)\gt 0$ であり， $\mbox{AB}\cdot\mbox{CD}=4(\sin^2\alpha-\sin^2\beta)=2\sin^2\alpha$
が成立するので最大値 $4\sin^2\alpha$ を与える等脚台形 $\rm ABCD$ が存在する．

よって $k$ の最大値は $4\sin^2\alpha$ である．

等号を成立させる四角形を具体的に求める代わりに中間値の定理を用いて存在のみを証明しても良い．

$\rm D$ を $\rm C$ に近づけた極限で $\mbox{AB}\to4\sin\alpha\cos\alpha$ ， $\mbox{BC}=\mbox{DA}\to 2\sin\alpha$ ， $\mbox{CD}\to0$ だから， $\mbox{AB}\cdot \mbox{CD}-\mbox{AD}\cdot \mbox{BC}\to -4\sin^2\alpha\lt 0$ であり， $\rm D$ を $\rm A$ に近づけた極限で $\mbox{AB}\to 2\sin\alpha$ ， $\mbox{BC}=\mbox{DA}\to 0$ ， $\mbox{CD}\to 2\sin\alpha$ だから， $\mbox{AB}\cdot \mbox{CD}-\mbox{AD}\cdot \mbox{BC}\to 4\sin^2\alpha\gt 0$ であり， $\rm D$ を $\rm C$ から $\rm A$ に連続的に動かすとき各線分の長さも連続的に変化するので，中間値の定理により $\mbox{AB}\cdot \mbox{CD}-\mbox{AD}\cdot \mbox{BC}=0$ となる $\rm D$ が存在する．

$\mbox{AB}\cdot \mbox{CD}-\mbox{AD}\cdot \mbox{BC}$ は単調に変化するが，そこまで示す必要はない．

等号成立条件を踏まえると，計算主体で考えるときは $\beta$ を設定すれば良いことがわかる（ $\sin\beta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha$ で最大となるので）．

[別解]
$\angle\mbox{DAB}=\theta$ （ $0\lt\theta\lt\angle\mbox{ABC}=\alpha$ ）とおくと，正弦定理から
$\mbox{AB}=2\sin(\alpha+\theta)$ ， $\mbox{BC}=2\sin\theta$ ， $\mbox{CD}=2\sin(\alpha-\theta)$ ， $\mbox{DA}=2\sin\theta$
であるから， $\sin(p+q)\sin(p-q)=\sin^2p-\sin^2q$ に注意して
$k=16\sin^2\theta(\sin^2\alpha-\sin^2\theta)$
となり，これは $0\lt \theta\lt \alpha$ により $\sin^2\theta=\dfrac{1}{2}\sin^2\alpha$ のときに最大値 $4\sin^2\alpha$ をとる．

正弦定理を主体に考えようと思うと， $\alpha$ を角度の1つとする三角形の残りの角度を設定しようと思えば， $\angle\mbox{DAB}=\theta$ 　と設定するのはそれほど難しくない（正弦定理を主体に考えないと大変だと思うのが以外と難しいかも知れない）．