https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Rikei

2025.05.02記

[1] $0$ でない実数 $a$ ， $b$ ， $c$ は次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする．

(i) $1+c^2\leqq2a$ ．

(ii) $2$ つの放物線 $C_1:y=ax^2$ と $C_2:y=b{(x-1)}^2+c$ は接している．

ただし， $2$ つの曲線が接するとは，ある共有点において共通の接線をもつことであり，その共有点を接点という．

(1) $C_1$ と $C_2$ の接点の座標を $a$ と $c$ を用いて表せ．

(2) $C_1$ と $C_2$ の接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ．

本問のテーマ

放物線は相似
$y$ 軸に平行な軸をもつ2つの放物線が接するときの接点は相似の中心

2025.05.04記

[解答]
(1) $C_1$ ， $C_2$ の共有点の $x$ 座標を $t$ とすると，共有点における接線
$y=2at(x-t)+at^2$ ， $y=2b(t-1)(x-t)+b(t-1)^2+c$
が一致するので
$2at=2b(t-1)$ ， $at^2=b(t-1)^2+c$
が成立する．前者と $a，b\neq 0$ から $t\neq0，1$ であり，このとき $at=b(t-1)$ から
$at^2=b(t-1)^2+c=at(t-1)+c$
から $t=\dfrac{c}{a}$ が得られる．よって接点の座標は $\left(\dfrac{c}{a}，\dfrac{c^2}{a}\right)$ となる．

このとき $b=\dfrac{at}{t-1}=\dfrac{ac}{c-a}$ である．

(2) $x=\dfrac{c}{a}$ ， $y=\dfrac{c^2}{a}$ とおくと

$a=\dfrac{y}{x^2}$ ， $b=\dfrac{ac}{c-a}=\dfrac{y}{x^2}\cdot \dfrac{x}{x-1}$ ， $c=\dfrac{y}{x^2}$

であるから， $a，b，c\neq 0$ なる $a，b，c$ が存在する必要十分条件は「 $x\neq 0$ かつ $x\neq 1$ かつ $x\neq 0$ 」である．

さらに(i) から $1+\dfrac{y^2}{x^2}\leqq\dfrac{2y}{x^2}$ ，つまり $x^2+y(y-2)\leqq 1$ （ $(0,0)$ と $(0,2)$ を直径とする円の周または内部）となるので接点の動く範囲は

「 $x^2+(y-1)^2\leqq 1$ かつ $x\neq 0$ かつ $x\neq 1$ かつ $x\neq 0$ 」

である．これは $(0,0)$ と $(0,2)$ を直径とする円の周または内部から $y$ 軸上の点と点 $(1，1)$ を除いた範囲となる．

y軸に平行な軸をもつ2つの放物線が接するときの接点は相似の中心 - 球面倶楽部零八式 mark II

[うまい解答]
(1) $a，b\neq 0$ より $C_1$ と $C_2$ は確かに放物線である．

$C_1$ と $C_2$ の頂点は $(0,0)$ ， $(1，c)$ であり異なるので，2つの放物線が接するときの接点は
$y=ax^2$ と $y=cx$ の原点とは異なる交点 $\left(\dfrac{c}{a}，\dfrac{c^2}{a}\right)$ であり，かつ $C_1$ と $C_2$ の対称の中心 $\left(\dfrac{-b}{a-b}，\dfrac{-bc}{a-b}\right)$ である．

このような接点が存在する条件は $\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b}{a-b}$ ， $\dfrac{c}{a}\neq 0$ ， $\dfrac{c}{a}\neq 1$ である．

条件を整理して， $a，b，c\neq 0$ のとき， $a\neq c$ であれば $b=\dfrac{ac}{c-a}$ で定まる放物線 $C_2$ が存在し， $C_2$ は放物線 $C_1$ と点 $(0，0)$ ， $(1，c)$ とは異なる点 $\left(\dfrac{c}{a}，\dfrac{c^2}{a}\right)$ で接する．