https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Rikei

2025.05.02記(15:35:05)

[1] $0$ でない実数 $a$ ， $b$ ， $c$ は次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする．

(i) $1+c^2\leqq2a$ ．

(ii) $2$ つの放物線 $C_1:y=ax^2$ と $C_2:y=b{(x-1)}^2+c$ は接している．

ただし， $2$ つの曲線が接するとは，ある共有点において共通の接線をもつことであり，その共有点を接点という．

(1) $C_1$ と $C_2$ の接点の座標を $a$ と $c$ を用いて表せ．

(2) $C_1$ と $C_2$ の接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ．

[2] $n^3-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求めよ．

[3] $\alpha$ は $0\lt \alpha\leqq\dfrac{\pi}{2}$ を満たす定数とし，四角形 $\mbox{ABCD}$ に関する次の $2$ つの条件を考える．

(i) 四角形 $\mbox{ABCD}$ は半径 $1$ の円に内接する．

(ii) $\angle\mbox{ABC}=\angle\mbox{DAB}=\alpha$ ．

条件(i)と(ii)を満たす四角形のなかで， $4$ 辺の長さの積

$k=\mbox{AB}\cdot\mbox{BC}\cdot\mbox{CD}\cdot\mbox{DA}$

が最大となるものについて， $k$ の値を求めよ．

[4] コインを $n$ 回投げて複素数 $z_1$ ， $z_2$ ， $\cdots$ ， $z_n$ を次のように定める．

(i) 1回目に表が出れば $z_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とし，裏が出れば $z_1=1$ とする．

(ii) $k=2$ ， $3$ ， $\cdots$ ， $n$ のとき， $k$ 回目に表が出れば $z_k=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}z_{k-1}$ とし，裏が出れば $z_k=\overline{z_{k-1}}$ とする．ただし， $\overline{z_{k-1}}$ は $z_{k-1}$ の共役複素数である．

このとき， $z_n=1$ となる確率を求めよ．

[5] 曲線 $y=\log x$ 上の点 $\mbox{A}(t，\log t)$ における法線上に，点 $\mbox{B}$ を $\mbox{AB}=1$ となるようにとる．ただし $\mbox{B}$ の $x$ 座標は $t$ より大きいとする．

(1) 点 $\mbox{B}$ の座標 $(u(t)，v(t))$ を求めよ．また $\left( \dfrac{du}{dt}，\dfrac{dv}{dt} \right)$ を求めよ．

(2) 実数 $r$ は $0\lt r\lt 1$ を満たすとし， $t$ が $r$ から1まで動くときに点 $\mbox{A}$ と点 $\mbox{B}$ が描く曲線の長さをそれぞれ $L_1(r)$ ， $L_2(r)$ とする．このとき，極限 $\displaystyle\lim_{r\to+0}(L_1(r)-L_2(r))$ を求めよ．