https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Bunkei

2025.05.02記

[5] 整数が書かれている球がいくつか入っている袋に対して，次の一連の操作を考える．ただし各球に書かれている整数は $1$ つのみとする．

(i) 袋から無作為に球を $1$ 個取り出し，その球に書かれている整数を $k$ とする．

(ii) $k \neq 0$ の場合，整数 $k$ が書かれた球を1個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．

(iii) $k=0$ の場合，袋の中にあった球に書かれていた数の最大値より $1$ 大きい整数が書かれた球を $1$ 個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．

整数 $0$ が書かれている球が $1$ 個入っており他の球が入っていない袋を用意する．この袋に上の一連の操作を繰り返し $n$ 回行った後に，袋の中にある球に書かれている $n+1$ 個の数の合計を $X_n$ とする．例えば $X_1$ は常に $1$ である．以下 $n\geqq2$ として次の問に答えよ．

(1) $\displaystyle X_n\geqq\frac{(n+2)(n-1)}{2}$ である確率を求めよ．

(2) $X_n \leqq n+1$ である確率を求めよ．

2025.05.06記

[解答]
$i$ 回目の操作で取り出した球に書かれた数を $a_i$ とし，そのときに追加した球に書かれた数を $b_i$ とする．このとき $a_1=0，b_1=1$ である．

$n\geqq 2$ のとき， $X_n$ が最小になるのは $b_i=1$ （ $i=1，2，\ldots， n$ ）のときで $X_n=n$ であり， $X_n$ が最大になるのは $b_i=i$ （ $i=1，2，\ldots， n$ ）のときで $X_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ である．

(1) $\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{(n+2)(n-1)}{2}$ $=1$ であるから， $X_n=\dfrac{(n+2)(n-1)}{2}，\dfrac{n(n+1)}{2}$ の2通りである．

(a) $X_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ となるのは最後の $n+1$ 個の球に書かれた数字が「 $0〜n$ が $1$ 個ずつ」のときに限るので， $b_i=i$ （ $i=1，2，\ldots， n$ ）のときであり，このとき $a_i=0$ （ $i=1，2，\ldots， n$ ）となる． $i$ 回目には $i$ 個の球の中からただ1つの $0$ が書かれた球を取り出すことから，その確率は $\dfrac{1}{1}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}\times\cdots\times\dfrac{1}{n}$ $=\dfrac{1}{n!}$ となる．

(b) $X_n=\dfrac{(n+2)(n-1)}{2}$ となるのは $n\geqq 3$ のときであり最後の $n+1$ 個の球に書かれた数字が「 $0〜n-2$ が $1$ 個ずつ， $n-1$ が $2$ 個」のときに限るので， $b_i=i$ （ $i=1，2，\ldots， n-1$ ）， $b_n=n-1$ のときであり，このとき $a_i=0$ （ $i=1，2，\ldots， n$ ）， $a_n=n-1$ となる．(a)とは最後に取り出す球に書かれた番号のみが異なるが， $n$ 回目には $n$ 個の球の中からただ1つの $n-1$ が書かれた球を取り出すので，その確率は(a)と同じ $\dfrac{1}{n!}$ となる．

よって求める確率は $\dfrac{2}{n!}$ となる．

(2) $X_n=n，n+1$ の2通りである．

(a) $X_n=n$ となるのは最後の $n+1$ 個の球に書かれた数字が「 $0$ が $1$ 個， $1$ が $n$ 個」のときに限るので， $b_i=1$ （ $i=1，2，\ldots， n$ ）のときであり，このとき $a_1=0$ ， $a_i=1$ （ $i=2，\ldots， n$ ）となる． $i$ 回目には $i$ 個の球の中にある $i-1$ 個の $1$ が書かれた球のうちの1つを取り出すことから，その確率は $\dfrac{1}{1}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\cdots\times\dfrac{n-1}{n}$ $=\dfrac{1}{n}$ となる．

(b) $X_n=n+1$ となるのは最後の $n+1$ 個の球に書かれた数字が「 $0$ が $1$ 個， $1$ が $n-1$ 個， $2$ が $1$ 個」のときに限るので， $b_i$ （ $i=1，2，\ldots， n$ ）
のうち1つだけが $2$ で残り $n-1$ 個が $1$ となるときであり，このとき $a_1=0$ ， $a_i$ （ $i=2，3，\ldots， n$ ）のうち1つだけが $0$ で残り $n-2$ 個（ $n=2$ のときは $0$ 個）が $1$ となる．このうち $a_m=0$ となる場合の確率は $1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\cdots\times\dfrac{m-2}{m-1}\times\dfrac{1}{m}\times\dfrac{m-1}{m+1}\times\cdots\times\dfrac{n-2}{n}$ $=\dfrac{1}{n(n-1)}$ であり， $m$ の選び方は $n-1$ 通りあるので(b)となる確率は $\dfrac{1}{n}$ となる．

よって求める確率は $\dfrac{2}{n}$ となる．