https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Bunkei

2025.05.02記

[2] $1$ 辺の長さが $1$ の正方形 $\mbox{ABCD}$ において，辺 $\mbox{BC}$ 上に $\mbox{B}$ とは異なる点 $\mbox{P}$ を取り，線分 $\mbox{AP}$ の垂直2等分線が辺 $\mbox{AB}$ ，辺 $\mbox{AD}$ またはその延長と交わる点をそれぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．

(1) 線分 $\mbox{QR}$ の長さを $\sin \angle\mbox{BAP}$ を用いて表せ．

(2) 点 $\mbox{P}$ が動くときの線分 $\mbox{QR}$ の長さの最小値を求めよ．

本問のテーマ

切片方程式

2025.05.05記

[解答]
（長いので） $\angle\mbox{BAP}=\theta$ とおき， $\mbox{A}(0，0)$ ， $\mbox{B}(0，1)$ ， $\mbox{C}(1，1)$ ， $\mbox{D}(1，0)$ ， $\mbox{P}\left(\tan\theta，1\right)$ （ $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{4}$ ）と座標を設定する．

(1) $\mbox{QR}$ の方程式は $x^2+y^2=(x-\tan\theta)^2+(y-1)^2$ から $2(\tan\theta)x+2y=\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ ，つまり
$\dfrac{x}{\dfrac{1}{2\tan\theta\cos^2\theta}} +\dfrac{y}{\dfrac{1}{2\cos^2\theta}} = 1$
（切片方程式）となり，
$\mbox{QR}$ $=\dfrac{1}{2\cos^2\theta}\sqrt{\dfrac{1}{\tan^2\theta}+1}$ $=\dfrac{1}{2\cos^2\theta\sin\theta}$ $=\dfrac{1}{2(\sin\angle\mbox{BAP}-\sin^3\angle\mbox{BAP})}$
となる．

(2) $x=\sin\theta$ ， $f(x)=x-x^3$ とおくと $\mbox{QR}=\dfrac{1}{2f(x)}$ であるから， $f(x)$ の $0\lt x\lt\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ における最大値を求めれば良い．2×4の箱を考えると $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のときに $f(x)$ は最大値 $\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ をとる．

よって $\mbox{QR}$ の最小値は $\dfrac{1}{2\cdot\dfrac{2}{3\sqrt{3}}}$ $=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ である．