https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2018/Bunkei

2025.05.02記

[1] $a$ は正の実数とし，座標平面内の点 $(x_0，y_0)$ は2つの曲線

$C_1:y=|x^2-1|$ ， $C_2:y=x^2-2ax+2$

の共有点であり， $|x_0| \neq 1$ を満たすとする． $C_1$ と $C_2$ が $(x_0，y_0)$ で共通の接線をもつとき， $C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

本問のテーマ

放物線は相似
$y$ 軸に平行な軸をもつ2つの放物線が接するときの接点は相似の中心

2025.05.05記
2018年(平成30年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同じテーマ． $y$ 軸に平行な軸を持つ放物線においては「接線の傾きと接点は一対一対応する」ので $x^2$ の係数が等しいなら
「共通接線を持つこと」と「放物線が一致すること」は同値になるので「 $x^2$ の係数が等しい異なる2つの2次関数は接しない」ことに注意しておく．

[うまい解答]
$y=x^2-1$ と $C_2:y=x^2-2ax+2$ は $x^2$ の係数が等しいので共有点における接線が等しいならば一致しなければならないが，異なる放物線であるため，そのようなことは起こらない．

よって $C_1$ ， $C_2$ が条件を満たすとき， $(x_0，y_0)$ は $y=-x^2+1$ と $y=(x-a)^2+2-a^2$ の共有点（だから $|x_0|\lt 1$ ）であり，その共有点における接線が等しくなるので， $y=-x^2+1$ と $y=(x-a)^2+2-a^2$ は $(x_0，y_0)$ に関して点対称である．よって $(x_0，y_0)$ はそれぞれの放物線の頂点の中点であるから $\left(\dfrac{a}{2}，\dfrac{3-a^2}{2}\right)$ であり，この点が $-x^2+1$ 上の点であることから $\dfrac{3-a^2}{2}=-\dfrac{a^2}{4}+1$ ，つまり $a^2=2$ が成立する． $a\gt 0$ から $a=\sqrt{2}$ となり $x_0=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となるが，これは $|x_0|\lt 1$ を満たしているので確かに $C_1$ 上の点である．

このとき， $C_2$ は $y=x^2-2\sqrt{2}x+2$ となり， $y=x^2-1$ （ $|x|\gt 1$ ）との交点の $x$ 座標は $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ となるので，求める面積は $\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\beta=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ とおくと
$\displaystyle\int_{\alpha}^{1} 2(x-\alpha)^2\,dx +\displaystyle\int_{1}^{\beta} 2\sqrt{2} (\beta-x)\,dx$ $=\dfrac{2}{3}(1-\alpha)^3$ $+\sqrt{2}(1-\beta)^2$ $=\dfrac{2}{3}\left(1-3\alpha+\dfrac{3}{2}-\dfrac{\alpha}{2}\right)$ $+\sqrt{2}\left(1-2\beta+\dfrac{9}{8}\right)$ $=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7\alpha}{3}$ $+\dfrac{17\sqrt{2}}{8}-2\sqrt{2}\beta$ $=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7\sqrt{2}}{6}$ $+\dfrac{17\sqrt{2}}{8}-3$ $=\dfrac{23\sqrt{2}-32}{24}$
となる．

普通の解き方として，微分を用いる向きもあるが，次数の低い多項式関数の場合は因数分解を活用するのが吉．

[解答]
一般に多項式関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=x_0$ で共通の接線 $y=mx+n$ を持つとき， $f(x)-(mx+n)$ ， $g(x)-(mx+n)$ は $(x-x_0)^2$ で割り切れるので，交点の $x$ 座標を求める方程式 $f(x)-g(x)=0$ も $(x-x_0)^2$ で割り切れる必要があり，このとき $f(x)，g(x)$ を $(x-x_0)^2$ で割った余り $mx+n$ を用いて共通の接線の方程式 $y=mx+n$ が求まるので十分である．

$y=x^2-1$ と $C_2:y=x^2-2ax+2$ の交点を求める方程式 $2ax-3=0$ の左辺は2次式で割り切れないので同じ点で共通の接線を持つことはない．

$y=1-x^2$ と $C_2:y=x^2-2ax+2$ の交点を求める方程式 $2x^2-2ax+1=0$ が $(x-x_0)^2$ で割り切れるので，左辺は完全平方式でなければならず， $x^2$ の係数と定数項から

$2x^2-2ax+1=2\left(x\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=2x^2\pm2\sqrt{2}x+1=2(x-x_0)^2$

でなければならないが， $a\gt 0$ により $a=\sqrt{2}$ ， $x_0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となる．これは $|x_0|\lt 1$ を満たしているので確かに $C_1$ 上の点である．

（以下略）