2018年(平成30年)京都大学-数学(文系)

，

の共有点であり， を満たすとする． と が で共通の接線をもつとき， と で囲まれる部分の面積を求めよ．

[2] 辺の長さが の正方形 において，辺 上に とは異なる点 を取り，線分 の垂直2等分線が辺 ，辺 またはその延長と交わる点をそれぞれ ， とする．

(1) 線分 の長さを を用いて表せ．

(2) 点 が動くときの線分 の長さの最小値を求めよ．

[3] が素数となるような整数 をすべて求めよ．

[4] 四面体 は ， を満たすとし，辺 の中点を ，辺 の中点を とする．

(1) 辺 と線分 は垂直であることを示せ．

(2) 線分 を含む平面 で四面体 を切って つの部分に分ける．このとき， つの部分の体積は等しいことを示せ．

[5] 整数が書かれている球がいくつか入っている袋に対して，次の一連の操作を考える．ただし各球に書かれている整数は つのみとする．

(i) 袋から無作為に球を 個取り出し，その球に書かれている整数を とする．

(ii) の場合，整数 が書かれた球を1個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．

(iii) の場合，袋の中にあった球に書かれていた数の最大値より 大きい整数が書かれた球を 個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．

整数 が書かれている球が 個入っており他の球が入っていない袋を用意する．この袋に上の一連の操作を繰り返し 回行った後に，袋の中にある球に書かれている 個の数の合計を とする．例えば は常に である．以下 として次の問に答えよ．

(1) である確率を求めよ．

(2) である確率を求めよ．