https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Rikei

2025.05.06記

[6] $n$ を自然数とする． $n$ 個の箱すべてに， $\fbox{1}$ ， $\fbox{2}$ ， $\fbox{3}$ ， $\fbox{4}$ ， $\fbox{5}$ の $5$ 種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている．各々の箱から1枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から並べて $n$ 桁の数 $X$ を作る．このとき， $X$ が3で割り切れる確率を求めよ．

本問のテーマ

通常型母関数

2025.05.08記

[大人の解答]
取り出したカードに書かれた数の合計が $k$ となる確率が $x^k$ の係数となるような通常型母関数は $f(x)=\left(\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{1}{5}x^3+\dfrac{1}{5}x^4+\dfrac{1}{5}x^5\right)^n$ であり， $X$ が3で割り切れることとカードの合計が3の倍数となることは同値であるから， $f(x)$ の $x^{3m}$ （ $m=1，2，…$ ）の係数和が求める確率となる．

$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくことにより，求める確率は
$\dfrac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)}{3}$ $=\dfrac{1+(-1/5)^n+(-1/5)^n}{3}$ $=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^n$
となる．

[解答]
求める確率を $p_n$ （ $n=1，2，…$ ）とおくと， $p_1=\dfrac{1}{5}$ ，
$p_{n+1}=\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{2}{5}(1-p_n)=-\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{2}{5}$
であるから
$p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{5}\left(p_n-\dfrac{1}{3}\right)$ $=\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}$
となる．よって求める確率は $p_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}$ となる．