https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Rikei

2025.05.06記

[5] $a\geqq0$ とする． $0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ の範囲で曲線 $y=xe^{-x}$ ，直線 $y=ax$ ，直線 $x=\sqrt{2}$ によって囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする．このとき， $S(a)$ の最小値を求めよ．
（ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする．）

本問のテーマ

はみだし削り論法

2025.05.08記

[解答]
$f(x)=xe^{-x}$ とおくと $f'(x)=(1-x)e^{-x}$ ， $f'’(x)=(x-2)e^{-x}$ であるから $y=f(x)$ は $0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ の範囲で上に凸であり， $x=0$ における接線の方程式は $y=x$ （ $a=1$ ）である．また $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}}$ より $y=ax$ が点 $(\sqrt{2}，\sqrt{2}e^{-sqrt{2}})$ を通るのは $a=e^{-\sqrt{2}}$ のときである．

囲まれた部分を $D(a)$ と表すと， $0\leqq a\lt e^{-\sqrt{2}}$ のとき $D(e^{-\sqrt{2}})\subset D(a)$ により $S(e^{-\sqrt{2}})\lt S(a)$ であり， $1\gt a$ のとき $D(1)\subset D(a)$ により $S(1)\lt S(a)$ であるから， $S(a)$ は $e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$ において最小となる．

はみだし削り論法により， $y=ax$ が $(1，e^{-1})$ を通るとき，つまり $a=e^{-1}$ のときに最小となり，最小値は $F(x)=\displaystyle\int e^{-1}x-xe^{-x}$ $\dfrac{1}{2e}x^2+(x+1)e^{-x}$ とおくと
$S(e^{-1})$ $=\displaystyle\int_0^1 (xe^{-x}-e^{-1}x)\,dx$ $-\displaystyle\int_1^\sqrt{2} (xe^{-x}-e^{-1}x)\,dx$
$=F(0)+F(\sqrt{2})-2F(1)$
$=1+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{e}-2\left(\dfrac{2}{e}+\dfrac{1}{2e}\right)$
$=1+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-\dfrac{4}{e}$
となる．