https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Rikei

2025.05.06記

[4] $\triangle\mbox{ABC}$ は鋭角三角形であり， $\angle\mbox{A}=\dfrac{\pi}{3}$ であるとする．また $\triangle\mbox{ABC}$ の外接円の半径は $1$ であるとする．

(1) $\triangle\mbox{ABC}$ の内心を $\mbox{P}$ とするとき， $\angle\mbox{BPC}$ を求めよ．

(2) $\triangle\mbox{ABC}$ の内接円の半径 $r$ の取りうる値の範囲を求めよ．

2025.05.08記

[解答]
(1) $2(\pi-\angle\mbox{BPC})=\pi-\angle\mbox{BAC}$ であるから $\angle\mbox{BPC}=\dfrac{2\pi}{3}$ で
ある．

(2) $\triangle\mbox{ABC}$ の外心を $\mbox{O}$ とするとき， $\angle\mbox{BOC}=\dfrac{2\pi}{3}$ であるから，円周角の定理により， $\mbox{P}$ は $\mbox{B}$ ， $\mbox{O}$ ， $\mbox{C}$ を通る円周上にあり，内接円の半径 $r$ が点 $\mbox{P}$ と $\mbox{BC}$ の距離である．

$\angle\mbox{PBC}=\theta$ とおくと $\triangle\mbox{ABC}$ が鋭角三角形であることから
$\dfrac{\pi}{6}\lt 2\theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ ，つまり $\dfrac{\pi}{12}\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{4}$ であり， $r$ は $\mbox{P}=\mbox{O}$ となる $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ から離れるほど単調に減少する．

ここで $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき， $r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan\dfrac{\pi}{6}$ $=\dfrac{1}{2}$ であり， $\theta\to\dfrac{\pi}{4}-0$ または $\theta\to\dfrac{\pi}{12}+0$ の極限で $r$ は3辺が $1，\sqrt{3}，2$ の直角三角形の内接円の半径 $\dfrac{1\times\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ となるので， $r$ の取りうる値の範囲は $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\lt r\leqq\dfrac{1}{2}$ となる．