https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Rikei

2025.05.06記

[3] $p$ ， $q$ を自然数， $\alpha$ ， $\beta$ を $\tan\alpha=\dfrac{1}{p}$ ， $\tan\beta=\dfrac{1}{q}$ を満たす実数とする．このとき $\tan(\alpha+2\beta)=2$ を満たす $p$ ， $q$ の組 $(p，q)$ をすべて求めよ．

2025.05.08記
$\tan(\alpha+2\beta)$ を加法定理でばらばらにする際， $\tan2\beta$ か $\tan(\alpha+\beta)$ が登場するのでこれらが $\tan\dfrac{\pi}{2}$ とならないように場合分けをする．ここでは $\alpha+\beta$ が $\dfrac{\pi}{2}$ かどうかで場合分けする．

[解答]
$\tan x$ の周期は $\pi$ であるから $\tan a=\dfrac{1}{p}(\gt 0)$ ， $\tan b=\dfrac{1}{q}(\gt 0)$ なる鋭角 $a，b$ を選ぶと $\alpha=a+n\pi$ ， $\beta=b+m\pi$ （ $n，m\in\mathbb{Z}$ ）と表されるが，
$\tan(\alpha+2\beta)=\tan(a+2b+(n+2m)\pi)=\tan(a+2b)$
となり， $n，m$ によらない議論となるので，はじめから $\alpha，\beta$ は鋭角であるとして良い．

$p，q$ は自然数により $0\lt \alpha，\beta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ であるから $0\lt \alpha+\beta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ である．

(a) $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき： $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{4}$ であるから
$\tan(\alpha+2\beta)=-1$ より不適．

(b) $\alpha+\beta\neq\dfrac{\pi}{2}$ のとき：
$\tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\tan(\alpha+\beta)+\tan\beta}{1-\tan(\alpha+\beta)\tan\beta}$ $=\dfrac{\tan\alpha+2\tan\beta-\tan\alpha\tan^2\beta}{1-2\tan\alpha\tan\beta-\tan^2\beta}$ $=\dfrac{q^2+2pq-1}{pq^2-2q-p}=2$
から
$2p=\dfrac{q^2+4q-1}{q^2-q-1}=1+\dfrac{5q}{q^2-q-1}$
となる． $p$ が自然数となるためには $\dfrac{5q}{q^2-q-1}$ が正の奇数となることであり，そのためには $1$ 以上となること，つまり分母が正（ $q\geqq 2$ ）かつ $5q\geqq q^2-q-1$ となることが必要である．

このとき $q^2-6q-1\leqq 0$ でなければならず，自然数 $q$ の候補は $2〜6$ であり，これらの中で $\dfrac{5q}{q^2-q-1}$ が正の奇数となるのは $q=3$ のときであり，その値は $3$ となる．このとき $p=2$ となるので求める答は $(p，q)$ $=(2，3)$ のみである．

2025.05.09記
試験場では無理だが，電卓片手に実験してみると

$\tan 45^{\circ}=1$ ， $\tan 26.57^{\circ}\approx\dfrac{1}{2}$ ， $\tan 18.43^{\circ}\approx\dfrac{1}{3}$ ， $\tan 14.04^{\circ}\approx\dfrac{1}{4}$ ， $\tan 11.31^{\circ}\approx\dfrac{1}{5}$ ， $\tan 9.46^{\circ}\approx\dfrac{1}{6}$ ， $\tan 8.13^{\circ}\approx\dfrac{1}{7}$

のように求まるので， $\tan 63.43^{\circ}\approx 2$ と比較することによって解っぽい組を探すことができる．

$p，q\geqq 3$ のとき： $\alpha+2\beta\leqq 55.29^{\circ}$ ，
$p=2，q\geqq 4$ のとき： $\alpha+2\beta\leqq 54.65^{\circ}$ ，
$p=2，q=3$ のとき： $\alpha+2\beta=63.43^{\circ}$ （これが解っぽい），
$p=2，q=2$ のとき： $\alpha+2\beta=79.71^{\circ}$ ，
$p=2，q=1$ のとき： $\alpha+2\beta=116.57^{\circ}$ ，
$p=1，q\geqq 7$ のとき： $\alpha+2\beta\leqq 61.26^{\circ}$ ，
$p=1，q=6$ のとき： $\alpha+2\beta=63.92^{\circ}$ ，
$p=1，q=5$ のとき： $\alpha+2\beta=67.62^{\circ}$ ，
$p=1，q=4$ のとき： $\alpha+2\beta=73.08^{\circ}$ ，
$p=1，q=3$ のとき： $\alpha+2\beta=81.86^{\circ}$ ，
$p=1，q=2$ のとき： $\alpha+2\beta=98.14^{\circ}$ ，
$p=1，q=1$ のとき： $\alpha+2\beta=135^{\circ}$

このようにしらみつぶしで求めることもできる．

[解答]
（加法定理を組み合わせた計算部分は省略する）
$\tan x=\dfrac{1}{n}$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）なる $x$ を $u_n$ とおく．

$p，q\geqq 3$ のとき： $\tan(\alpha+2\beta)\leqq\tan 3u_3=\dfrac{13}{9}$

$p=2，q\geqq 4$ のとき： $\tan(\alpha+2\beta)\leqq \tan (u_2+2u_4)=\dfrac{31}{22}$

$p=2，q=3$ のとき： $\tan(u_2+2u_3)=2$

$p=2，q=2$ のとき： $\tan 3u_2=\dfrac{11}{2}$

$p=2，q=1$ のとき： $\tan(u_2+2u_1)=\tan\left(u_2+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{\tan u_2}=-2$

$p=1，q\geqq 7$ のとき： $\tan(\alpha+2\beta)\leqq\tan(u_1+2u_7)=\dfrac{31}{17}$

$p=1，q=6$ のとき： $\tan(u_1+2u_6)=\dfrac{47}{23}$

$p=1，q=5$ のとき： $\tan(u_1+2u_5)=\dfrac{17}{7}$

$p=1，q=4$ のとき： $\tan(u_1+2u_4)=\dfrac{23}{7}$

$p=1，q=3$ のとき： $\tan(u_1+2u_3)=7$

$p=1，q=2$ のとき： $\tan(u_1+2u_2)=-7$

$p=1，q=1$ のとき： $\tan 3u_1=-1$

であるから求める答は $(p，q)$ $=(2，3)$ のみである．

このしらみつぶしに近いことをさせようとする誘導が文系の
2017年(平成29年)京都大学-数学(文系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
（但し(1)で唯一解を求めさせるので無駄のある場合分けになっている）である．このしらみつぶしをコンパクトにした解法が次のものである．

(a) $q=1$ のとき：
$\beta=\dfrac{\pi}{4}$ だから $\tan(\alpha+2\beta)=\tan\alpha=\dfrac{1}{p}$ となるが，これは $2$ にはならない．

(b) $q=2$ のとき：
$\tan 2\beta=\dfrac{4}{3}$ だから $\tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\dfrac{1}{p}+\dfrac{4}{3}}{1-\dfrac{4}{3p}}=\dfrac{3+4p}{3p-4}=2$ となるのは $p=\dfrac{11}{2}$ となり不適．

(c) $q\geqq 3$ のとき：
$\tan 2\beta=\dfrac{2q}{q^2-1}$ だから $\tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\dfrac{1}{p}+\dfrac{2q}{q^2-1}}{1-\dfrac{2q}{p(q^2-1)}}=\dfrac{q^2-1+2pq}{(q^2-1)p-2q}=2$ となるのは $p=\dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$ のときである．

(c-i) $p=1$ が得られるのは $q^2-6q-1=0$ のときであるが，これは整数解を持たない．

(c-ii) $p=2$ が得られるのは $3q^2-8q-3=(3q+1)(q-3)=0$ のときであり， $q=3$ である．

(c-iii) $p\geqq 3$ のとき， $\tan u=\dfrac{1}{3}$ をみたす鋭角 $u$ に対して $\alpha+2\beta\lt 3u$ だから $\tan(\alpha+2\beta)\lt\tan 3u=\dfrac{3\tan u-\tan^3 u}{1-3\tan^2 u}$ $=\dfrac{13}{9}\lt 2$ となるので条件(A)を満たさない．

以上から $(p，q)=(2，3)$ のみが適する．