https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Rikei

2025.05.06記

[1] $w$ を $0$ でない複素数， $x$ ， $y$ を $w+\dfrac{1}{w}=x+yi$ を満たす実数とする．

(1) 実数 $R$ は $R\gt 1$ を満たす定数とする． $w$ が絶対値 $R$ の複素数全体を動くとき， $xy$ 平面上の点 $(x，y)$ の軌跡を求めよ．

(2) 実数 $\alpha$ は $0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ を満たす定数とする． $w$ が偏角 $\alpha$ の複素数全体を動くとき， $xy$ 平面上の点 $(x，y)$ の軌跡を求めよ．

本問のテーマ

ジューコフスキー変換
双曲線のパラメータ表示
複素数平面での中線定理

2025.05.06記
ジュコーフスキー変換 - Wikipedia
の $z=\zeta+\dfrac{a^2}{\zeta}$ の $a=1$ の場合．

・単位円は線分
・単位円以外の原点を中心とする円は楕円
・原点を通る直線は双曲線

に移る．中心が原点からちょっとずれた円の像は翼の形状の設計として用いられる．

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ のパラメータ表示として $(a\sec\theta，b\tan\theta)$ や $(a\cosh\theta，b\sinh\theta)$ 以外に線形変換から導かれる $\left(\dfrac{a}{2}(t+1/t)，\dfrac{b}{2}(t-1/t)\right)$ がある．

[解答]
$w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ， $z=x+yi$ とおくと
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)+\dfrac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta)$
であるから，
$x=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta$ ， $y=\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta$
が成立する．

(1) $x=\left(R+\dfrac{1}{R}\right)\cos\theta$ ， $y=\left(R-\dfrac{1}{R}\right)\sin\theta$ （ $0\leqq\theta\lt 2\pi$ ）の軌跡は $R\neq\dfrac{1}{R}$ により楕円 $\dfrac{x^2}{\left(R+\dfrac{1}{R}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(R-\dfrac{1}{R}\right)^2}=1$ 全体を描く．

(2) $x=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\alpha$ ， $y=\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\alpha$ （ $r\gt 0$ ）の軌跡は双曲線 $\dfrac{x^2}{(2\cos\alpha)^2}+\dfrac{y^2}{(2\sin\alpha)^2}=1$ 上にある． $r$ が連続的に変化すると $(x，y)$ も双曲線上を連続的に移動し， $r\to 0+$ で $x\to+\infty$ ， $y\to-\infty$ となり， $r\to +\infty$ で $x\to+\infty$ ， $y\to+\infty$ となるので双曲線の右側の枝全体を描く．

(1) の楕円の焦点は $R\neq 1$ の値にかかわらず $(\pm2，0)$ であることがわかり，この事実を知っていれば次のように楕円の式を導くこともできる．その際中線定理

複素数平面における中線定理は $|a+b|^2+|a-b|^2=2(|a|^2+|b|^2|)$ である．

を用いると楽である．

[うまい解答]
(1) $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ， $z=x+yi$ とおく．

$u=\sqrt{r}\left(\cos\dfrac{\theta}{2}+i\sin\dfrac{\theta}{2}\right)$ とおくと
$z\pm 2= r^2u^2\pm2+\dfrac{1}{r^2u^2}$ $=r^2u^2\pm2+\dfrac{1}{r^2}\overline{u}^2$ $=\left(ru\pm\dfrac{1}{r}\overline{u}\right)^2$
から
$|z+2|+|z-2|$ $=\left|ru+\dfrac{1}{r}\overline{u}\right|^2+\left|ru-\dfrac{1}{r}\overline{u}\right|^2$
であり，中線定理から
$|z+2|+|z-2|$ $=2\left(\left|ru\right|^2+\left|\dfrac{1}{r}\overline{u}\right|^2\right)$ $=2\left(r^2+\dfrac{1}{r^2}\right)$ $=2\left(R+\dfrac{1}{R}\right)$
となる．最右辺は AM-GM 不等式より $4$ より大きい（ $R\gt 1\gt \dfrac{1}{R}$ より AM-GM 不等式の等号は成立しない）ので， $z$ の軌跡は $-2$ ， $2$ からの距離の和が $2\left(R+\dfrac{1}{R}\right)$ （ $\gt 4$ ）で一定となるので $(x，y)$ は $(\pm2，0)$ を焦点とする楕円 $\dfrac{x^2}{\left(R+\dfrac{1}{R}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(R-\dfrac{1}{R}\right)^2}=1$ 上にある．

$(x，y)$ は $\theta$ について連続で， $\theta=0，\dfrac{\pi}{2}，\pi，\dfrac{3\pi}{2}，2\pi$ と変化すると $\left(R+\dfrac{1}{R}，0\right)$ ， $\left(0，R-\dfrac{1}{R}\right)$ ， $\left(-R-\dfrac{1}{R}，0\right)$ ， $\left(0，\dfrac{1}{R}-R\right)$ ， $\left(R+\dfrac{1}{R}，0\right)$ と楕円の周上の連続的に一周するので楕円全体を描く．