2017年(平成29年)京都大学-数学(理系)

(1) 実数 は を満たす定数とする． が絶対値 の複素数全体を動くとき， 平面上の点 の軌跡を求めよ．

(2) 実数 は を満たす定数とする． が偏角 の複素数全体を動くとき， 平面上の点 の軌跡を求めよ．

[2] 四面体 を考える．点 ，，，，， は，それぞれ辺 ，，，，， 上にあり，頂点ではないとする．このとき，次の問に答えよ．

(1) と が平行ならば であることを示せ．

(2) ，，，，， が正八面体の頂点となっているとき，これらの点は の各辺の中点であり， は正四面体であることを示せ．

[3] ， を自然数， ， を ， を満たす実数とする．このとき を満たす ， の組 をすべて求めよ．

[4] は鋭角三角形であり， であるとする．また の外接円の半径は であるとする．

(1) の内心を とするとき， を求めよ．

(2) の内接円の半径 の取りうる値の範囲を求めよ．

[5] とする． の範囲で曲線 ，直線 ，直線 によって囲まれた部分の面積を とする．このとき， の最小値を求めよ．
（ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする．）

[6] を自然数とする． 個の箱すべてに， ，，，， の 種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている．各々の箱から1枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から並べて 桁の数 を作る．このとき， が3で割り切れる確率を求めよ．