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2017年(平成29年)京都大学-数学(文系)[5]

2025.05.06記

[5] $n$ を2以上の自然数とする．さいころを $n$ 回振り，出た目の最大値 $M$ と最小値 $L$ の差 $M-L$ を $X$ とする．

(1) $X=1$ である確率を求めよ．

(2) $X=5$ である確率を求めよ．

2025.05.10記
出た目の最大値が $M$ である確率というのは大昔の京大に出たと思うので，そのうち参照できるだろう．この大昔の京大の問題を解いた経験があれば(2)は瞬殺．

[解答]
(1) $L=k$ ， $M=k+1$ となるのは全てが $k，k+1$ のいずれかで，全てが同じでない場合だから，その確率は $\dfrac{2^n-2}{6^n}$ となる． $k=1，2，3，4，5$ の5通りあるので求める確率は $\dfrac{5(2^n-2)}{6^n}$ である．

(2) $L=1$ ， $M=6$ となるのは全てが $1〜6$ のどれかになる場合から，
全てが $1〜5$ のどれかになる場合及び全てが $2〜6$ のどれかになる場合を除いて，
2重に除いた全てが $2〜5$ のどれかになる場合を加えれば良い．よってその確率は
$\dfrac{6^n-2\times 5^n+4^n}{6^n}$ となる．

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