https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Bunkei

2025.05.06記

[4] $p$ ， $q$ を自然数， $\alpha$ ， $\beta$ を $\tan\alpha=\dfrac{1}{p}$ ， $\tan\beta=\dfrac{1}{q}$ を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1) 次の条件

(A) $\tan(\alpha+2\beta)=2$

を満たす $p$ ， $q$ の組 $(p，q)$ のうち， $q\leqq3$ であるものをすべて求めよ．

(2) 条件(A)を満たす $p$ ， $q$ の組 $(p，q)$ で， $q\gt 3$ であるものは存在しないことを示せ．

2025.05.09記
2017年(平成29年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の誘導がついたもの． $q$ を決めれば条件(A)は $p$ の一次方程式となるので， $q=1，2，3$ と逐次的に代入していくことになる．

[解答]
$\tan x$ の周期は $\pi$ であるから $\tan a=\dfrac{1}{p}(\gt 0)$ ， $\tan b=\dfrac{1}{q}(\gt 0)$ なる鋭角 $a，b$ を選ぶと $\alpha=a+n\pi$ ， $\beta=b+m\pi$ （ $n，m\in\mathbb{Z}$ ）と表されるが，
$\tan(\alpha+2\beta)=\tan(a+2b+(n+2m)\pi)=\tan(a+2b)$
となり， $n，m$ によらない議論となるので，はじめから $\alpha，\beta$ は鋭角であるとして良い．

(1)(a) $q=1$ のとき：
$\beta=\dfrac{\pi}{4}$ だから $\tan(\alpha+2\beta)=\tan\alpha=\dfrac{1}{p}$ となるが，これは $2$ にはならない．

(b) $q=2$ のとき：
$\tan 2\beta=\dfrac{4}{3}$ だから $\tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\dfrac{1}{p}+\dfrac{4}{3}}{1-\dfrac{4}{3p}}=\dfrac{3+4p}{3p-4}=2$ となるのは $p=\dfrac{11}{2}$ となり不適．

注） $\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ ， $\tan\varphi=\dfrac{1}{3}$ のとき $\tan(\theta+\varphi)=1$ となるので
$2\theta=\dfrac{\pi}{2}-2\varphi$ から $\tan2\varphi=\dfrac{1}{\tan2\theta}=\dfrac{3}{4}$ となる．

$\tan 2\beta=\dfrac{3}{4}$ だから $\tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\dfrac{1}{p}+\dfrac{3}{4}}{1-\dfrac{3}{4p}}=\dfrac{4+3p}{4p-3}=2$ となるのは $p=2$ のときで適する．

以上から $(p，q)=(2，3)$ のみである．

(2) $q\gt 3$ のとき：
$\tan 2\beta=\dfrac{2q}{q^2-1}$ だから $\tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\dfrac{1}{p}+\dfrac{2q}{q^2-1}}{1-\dfrac{2q}{p(q^2-1)}}=\dfrac{q^2-1+2pq}{(q^2-1)p-2q}=2$ となるのは $p=\dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$ のときである．

(a) $p=1$ が得られるのは $q^2-6q-1=0$ のときであるが，これは整数解を持たない．

(b) $p=2$ が得られるのは $3q^2-8q-3=(3q+1)(q-3)=0$ のときであり， $q=3$ である．

(c) $p\geqq 3$ のとき， $\tan u=\dfrac{1}{3}$ をみたす鋭角 $u$ に対して $\alpha+2\beta\lt 3u$ だから $\tan(\alpha+2\beta)\lt\tan 3u=\dfrac{3\tan u-\tan^3 u}{1-3\tan^2 u}$ $=\dfrac{13}{9}\lt 2$ となるので条件(A)を満たさない．

よって条件(A)を満たす $p$ ， $q$ の組 $(p，q)$ で， $q\gt 3$ であるものは存在しない．

$p，q$ が十分大きいとき， $\alpha+2\beta$ は小さいので $\tan(\alpha+2\beta)$ も小さくなるので $\tan(\alpha+2\beta)\lt 2$ となる $p，q$ の十分条件として最も簡単なものとして $p=q$ の場合の $\tan 3\alpha\lt 2$ を考えると $p，q\geqq 3$ ならば十分であることがわかる．あとは $q=1，2$ の場合と $p=1，2$ の場合を確かめれば全ての場合を尽くす．この視点に立った別解を
2017年(平成29年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の[別解]として載せておく．