https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Bunkei

2025.05.06記

[2] 次の問に答えよ．ただし， $0.3010\lt \log_{10}2\lt 0.3011$ であることは用いてよい．

(1) $100$ 桁以下の自然数で， $2$ 以外の素因数を持たないものの個数を求めよ．

(2) $100$ 桁の自然数で， $2$ と $5$ 以外の素因数を持たないものの個数を求めよ．

本問のテーマ

商による誤差の伝播を利用した評価（対数）
連分数

2025.05.09記
(1) が $100$ 桁以下の自然数，(2) がちょうど $100$ 桁の自然数となっているので(2)の議論をどう(1)に帰着させるか考える必要がある．そうすると，何故「 $2$ と $5$ 」だとうまくいくかがわかり，この場合以外数えるのが大変であることがわかるって，単に $2\times 5=10$ となっているだけなのだが．

以下の解答では $\dfrac{1}{\log_{10}2}=3.321\cdots$ ， $\dfrac{1}{\log_{10}5}=1.430\cdots$ を計算するのに割り算ではなくかけ算によって評価した．それは $\log_{10}2$ が $0.3$ に近い値で $\log_{10}5$ が $0.7$ に近い値なので割り算によって1桁ずつ求めるよりも簡単に商が求められるからである．

[解答]
(1) $2^n\lt 10^{100}$ を満たす $0$ 以上の整数 $n$ の個数であるから $n\lt\dfrac{100}{\log_{10} 2}$ を満たす最大の自然数 $n$ を求める．

$0.3010\times 3.3=0.9933$ から（ $0.3010\times 3.322=0.999922$ の方が簡単に求まるが） $0.3010\times 3.32=0.99932$ となるので

$0.3010\times 3.33=0.99932+0.00301=1.00233$ ， $0.3011\times 3.32=0.99932+0.000332=0.999652$ から
$332\lt \dfrac{332}{0.999652}=\dfrac{100}{0.3011}\lt\dfrac{100}{\log_{10} 2}\lt \dfrac{100}{0.3010}=\dfrac{333}{1.00233}\lt 333$
が成立するので， $n$ は $0$ 以上 $332$ 以下の整数の個数である $333$ 個である．

(2) 例えば $2^k$ が $90$ 桁であったとすると $2^k\times 10^{10}=2^{k+10}\times 5^{10}$ は $100$ 桁の自然数となるように，(1)の $333$ 個の自然数の末尾に $0$ を必要個数つけ加えることによって $100$ 桁の自然数を $333$ 個作ることができる．これらの自然数は $10^{99}$ を除いて $2$ の素因数の個数の方が多いものの個数となる．

同様に $100$ 桁以下の自然数で， $5$ 以外の素因数を持たないものの末尾に $0$ を必要個数つけ加えることによって $100$ 桁の自然数を作ることができるので，このような自然数の個数を数えれば， $10^{99}$ を除いて $5$ の素因数の個数の方が多いものの個数となる．

さて， $100$ 桁以下の自然数で， $5$ 以外の素因数を持たないものの個数は $5^n\lt 10^{100}$ を満たす $0$ 以上の整数 $n$ の個数であるから $n\lt\dfrac{100}{\log_{10} 5}$ を満たす最大の自然数 $n$ を求める．

$\dfrac{1}{7}=0.1428\cdots$ を想起して，

$0.699\times 1.43=0.7\times 1.43-0.00143=1.001-0.00143\lt 1$ ，
$0.6989\times 1.44=0.7\times 1.44-0.00144-0.00144$ $=1.008-0.00144-0.00144\gt 1$ から
$143\lt \dfrac{100}{0.699}\lt\dfrac{100}{\log_{10} 5}\lt \dfrac{100}{0.6989}\lt 144$
が成立するので， $n$ は $0$ 以上 $143$ 以下の整数の個数である $144$ 個である．

よって求める個数は，重複分の $10^{99}$ を除いて $333+144-1=476$ 個となる．

$\dfrac{1}{\log_{10}5}$ の評価において， $0.699\times 1.43=0.7\times 1.43-0.00143=1.001-0.00143=0.99957$ であり， $0.699\times 1.44=0.7\times 1.44-0.00144=1.008-0.00144=1.00656$ から $0.6989\times 1.44=1.00656-0.000144=1006416$ と計算することができるが，必要なのは $1$ との大小関係だけなので，[解答]では $1$ との大小関係だけを示した．

練習がてら同じ方法で $0.4771\lt \log_{10} 3\lt 0.4772$ から $\dfrac{1}{\log_{10} 3}$ を評価してみると $0.4771\times 2=0.9542$ から $0.4771\times 2.1=0.9542+0.04771=1.00191$ は $0.004771$ より小さい値だけ1を超過しているので， $2.09\lt \dfrac{1}{0.4771}\lt 2.10$ であることがわかる．まぁ，やっていることは筆算そのものなのだけど，筆算は通常下からの評価だけを行うので，この調整方法だと臨機応変に上からの評価も利用していることになる．そしてこの評価が $\dfrac{1}{\log_{10} 2}$ ， $\dfrac{1}{\log_{10} 5}$ の場合には特にやり易いのである．

商による誤差の伝播

$|\delta|$ が十分に小さいとき， $\dfrac{1}{1-\delta}\approx 1+\delta$ （マクローリン展開を利用した一次近似，等比数列の和の途中項での打ち切り）が成立するので， $\dfrac{1}{x\pm\Delta x}$ $\approx \dfrac{1}{x}\cdot\left(1\mp\dfrac{\Delta x}{x}\right)$ が成立する．この式は $|\delta|$ が十分に小さいとき， $y=(1\pm\delta)x$ のとき $\dfrac{1}{y}\approx(1\mp\delta)\dfrac{1}{x}$ と見る方がわかり易く， $x$ が $1.001$ 倍になると $\dfrac{1}{x}$ はほぼ $0.999$ 倍になると理解すれば良い．

このことを用いると， $\log_{10} 2$ は $0.3$ に比べ $\dfrac{1}{300}$ 程度大きいのでその逆数は $\dfrac{1}{300}$ 程度小さくなり， $\dfrac{1}{\log_{10} 2} \approx \dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{299}{300}=3.32222…$ と近似的に求めることができ（実際の値は $3.321928\cdots$ ）， $\log_{10} 5$ は $0.7$ に比べ $\dfrac{1}{700}$ 程度小さいのでその逆数は $\dfrac{1}{700}$ 程度大きくなり， $\dfrac{1}{\log_{10} 5} \approx \dfrac{10}{7}\cdot\dfrac{701}{700}=1.43061…$ と近似的に求めることができる（実際の値は $1.430676\cdots$ ）．

この考え方に基づいて， $\dfrac{1}{0.3}$ や $\dfrac{1}{0.7}$ との比を評価することによって $\dfrac{100}{\log_{10}2}$ や $\dfrac{100}{\log_{10}5}$ の値を評価すると次のようになる．

$\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{301}{300}\lt \log_{10} 2 \lt \dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{3011}{3000}$ であるから，

$\dfrac{1000}{3}\cdot\dfrac{300}{301}\gt\dfrac{100}{\log_{10} 2} \gt \dfrac{1000}{3}\cdot\dfrac{3000}{3011}$

が成立する．ここで

$\dfrac{1000}{3}\cdot\dfrac{300}{301}$ $=\dfrac{1000}{3}\cdot\left(1-\dfrac{1}{301}\right)$ $=\dfrac{1000}{3}\cdot\left(1-\dfrac{3}{903}\right)$ $\lt\dfrac{1000}{3}\cdot\left(1-\dfrac{3}{1000}\right)=\dfrac{1000}{3}-1=332.\dot{3}$ ，

$\dfrac{1000}{3}\cdot\dfrac{3000}{3011}$ $=\dfrac{1000}{3}\cdot\left(1-\dfrac{11}{3011}\right)$ $\gt\dfrac{1000}{3}\cdot\left(1-\dfrac{11}{3000}\right)=\dfrac{1000}{3}-\dfrac{11}{9}=332.\dot{1}$

であるから， $332.\dot{1}\lt\dfrac{100}{\log_{10}2}\lt 332.\dot{3}$ が成立する．

また， $\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{6989}{7000}\lt \log_{10} 5 \lt \dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{699}{700}$ であるから，

$\dfrac{1000}{7}\cdot\dfrac{7000}{6989}\gt\dfrac{100}{\log_{10} 5} \gt \dfrac{1000}{7}\cdot\dfrac{700}{699}$

が成立する．ここで

$\dfrac{1000}{7}\cdot\left(1+\dfrac{1}{699}\right)$ $\gt\dfrac{1000}{7}\cdot\left(1+\dfrac{1}{700}\right)$ $\gt\dfrac{1000}{7}\cdot\left(1+\dfrac{7}{5000}\right)$ $=\dfrac{1000}{7}+0.2=143.057\cdots$ ，

$\dfrac{1000}{7}\cdot\left(1+\dfrac{11}{6989}\right)$ $\lt\dfrac{1000}{7}\cdot\left(1+\dfrac{14}{6666.\dot{6}}\right)$ $=\dfrac{1000}{7}+0.3=143.157\cdots$