https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2017/Bunkei

2025.05.06記

[1] 曲線 $y=x^3-4x+1$ を $C$ とする．直線 $l$ は $C$ の接線であり，点 $\mbox{P}(3，0)$ を通るものとする．また， $l$ の傾きは負であるとする．このとき， $C$ と $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

2025.05.08記

[解答]
$f(x)=x^3-4x+1$ ， $l$ の方程式を $y=l(x)$ とおき，接点を $t$ とすると解と係数の関係により $C$ と $l$ は $x=-2t$ で交わるので
$f(x)-l(x)=x^3-4x+1-l(x)=(x-t)^2(x+2t)$ ( $=x^3-3t^2x+2t^3$ ）
と因数分解できる． $l(3)=0$ であるから $-11=-9t^2+2t^3$ ，つまり
$2(-t)^3+9(-t)^2-11=-(t+1)(2t^2-11t+11)=0$
が成立する．この左辺は $-t\gt 0$ の範囲で $-t$ に関して単調増加であるから

注）定数項以外の係数が正だから単調増加となる．

この方程式の $t\lt 0$ なる解は高々1つで $t=-1$ のみである．

よって $C$ と $l$ は $x=-1$ で接し， $x=2$ で交わり，この範囲で
$f(x)-l(x)=(x+1)^2(x-2)\leqq 0$
であるから
$S=\displaystyle\int_{-1}^2 \{l(x)-f(x)\}\,dx$ $=\displaystyle\int_{-1}^2 (x+1)^2(2-x)\,dx$ $=\dfrac{3^4}{12}=\dfrac{27}{4}$
となる．

1/12 公式を用いたが，用いない場合は $x+1=X$ と置換して展開すると楽．

$2(-t)^3+9(-t)^2-11=0$ の負の解の個数はデカルトの符号律（符号法則）から負の解が重複度も込めて1個か3個であることがわかるが，正の解または虚数解の存在は自明ではないのでデカルトの符号律から直ちに負の解の個数が1個であるとは結論できない．