https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2016/Rikei

2025.04.25記

[4] $xyz$ 空間において，平面 $y=z$ の中で

$|x|\leqq\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}-1$ ， $0\leqq y \leqq \log a$

で与えられる図形 $D$ を考える．ただし $a$ は1より大きい定数とする．

この図形 $D$ を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

軸の正射影と体積の関係

2025.04.28記
回転体体積の裏ワザ：軸の正射影と体積の関係 - 球面倶楽部零八式 mark II
2024年(令和6年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
などからもわかるように，結局は「 $xy$ 平面上の図形」

$|x|\leqq\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}-1$ ， $0\leqq y \leqq \log a$

を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積に等しくなる．

図形 $D$ の $y=k$ （ $0\leqq k\leqq \log a$ ）における断面は直線 $z=k$ 上の線分であり，その線分と点 $(0，k，k)$ との距離の最大値と最小値をそれぞれ $M(k)，m(k)$ とすると，求める立体の $y=k$ における断面積は
$\pi([\{M(k)\}^2+k^2]-[\{m(k)\}^2+k^2])$ $=\pi(\{M(k)\}^2-\{m(k)\}^2)$
であるから，この線分を $(0，0，1)$ 方向に平行移動して直線 $z=0$ 上の線分としたときの線分を $y$ 軸のまわりに回転させてできる断面積に等しい．よって求める立体の体積は「 $xy$ 平面上の図形」

$|x|\leqq\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}-1$ ， $0\leqq y \leqq \log a$

を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積に等しくなる．

のように説明しても良いが断面が単純なので次のように解いておく．

[解答]
図形 $D$ の $y=k$ （ $0\leqq k\leqq \log a$ ）における断面は直線 $z=k$ 上の $\left(\dfrac{e^k+e^{-k}}{2}-1，k，k\right)$ と $\left(-\dfrac{e^k+e^{-k}}{2}+1，k，k\right)$ を結ぶ線分であるから，この線分を $y$ 軸の回りに回転させてできる求める立体の $y=k$ における断面積は $\pi \left(\dfrac{e^k+e^{-k}}{2}-1\right)^2$ となる．

よって求める体積 $V$ は
$V=\pi \displaystyle\int_0^{\log a} \left(\dfrac{e^k+e^{-k}}{2}-1\right)^2\, dk$ $=\pi \displaystyle\int_0^{\log a} \left(\dfrac{e^{2k}+e^{-2k}}{4}-e^k-e^{-k}+\dfrac{3}{2}\right)\, dk$ $=\pi \left[\dfrac{e^{2k}-e^{-2k}}{8}-e^k+e^{-k}+\dfrac{3}{2}k\right]_0^{\log a}$ $=\pi \left(\dfrac{a^{2}-a^{-2}}{8}-a+a^{-1}+\dfrac{3}{2}\log a\right)$
となる．