https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2016/Rikei

2025.04.25記

[3] 四面体 $\mbox{OABC}$ が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．

条件：頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る．

ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう．

2025.04.28記
版元品切れで絶版になってしまった

作者:寛之, 小島
東京出版

の垂心の証明が思い出される．

[解答]
面 $\mbox{OBC}$ の外心を $\mbox{H}$ とすると， $\mbox{AH}$ が面 $\mbox{OBC}$ への垂線であることからピタゴラスの定理により
$\mbox{AO}^2=\mbox{AH}^2+\mbox{HO}^2$ ，
$\mbox{AB}^2=\mbox{AH}^2+\mbox{HB}^2$ ，
$\mbox{AC}^2=\mbox{AH}^2+\mbox{HC}^2$
が成立し， $\mbox{H}$ が三角形 $\mbox{OBC}$ の外心であることから $\mbox{HO}=\mbox{HB}=\mbox{HC}$ となるので $\mbox{AO}=\mbox{AB}=\mbox{AC}$ が成立する．

同様に $\mbox{BO}=\mbox{BA}=\mbox{BC}$ ， $\mbox{CO}=\mbox{CA}=\mbox{CB}$ も成立し，四面体の6本の辺の長さが等しいことから，正四面体となる．