2016年(平成28年)京都大学-数学(理系)[2]

2025.04.25記

[2] 素数 $p$ ， $q$ を用いて $p^q+q^p$ と表される素数をすべて求めよ．

2025.04.28記

[解答]
$p，q$ を奇素数とすると $p^q+q^p$ は $3^3+3^3=54$ 以上の偶数となり素数ではない．よって $q=2$ として良い．

このとき $f(p)=p^2+2^p$ とおくと $f(2)=8$ は素数でなく， $f(3)=17$ は素数である．

$p$ が $5$ 以上の奇素数 $2n+1$ のとき mod 3 で $p^2\equiv 1$ に注意して
$f(p)\equiv 2^{2n+1}+1\equiv (2+1)(2^{2n}-2^{2n-1}+2^{2n-2}-\cdots+2^2-2+1)\equiv 0$
により $f(p)$ は3の倍数となり素数ではない．

以上から $17$ のみとなる．

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