https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2016/Bunkei

2025.04.25記

[4] 四面体 $\mbox{OABC}$ が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．

条件：頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る．

ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう．

2025.04.29記
2016年(平成28年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の外心を重心に変えたもの．個人的には文系の本問の方が難しく感じる．

重心は中線の交点であることから，中線が底辺と直交することを示して四面体の辺の長さが等しいことを示す．

[解答]
面 $\mbox{OBC}$ の重心を $\mbox{G}$ とすると， $\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})$ であるから
$\overrightarrow{\mbox{AG}}=\dfrac{1}{3}(-3\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})$
となり， $\rm AG\perp OC$ から
$(-3\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}=0$ …①
が成立する．

同様に面 $\mbox{OAC}$ について考えると，先程の $\rm A，B$ を入れ換えた
$(-3\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}=0$ …②
が成立する．

よって① $+3\times$ ②から
$(-8\overrightarrow{\mbox{OB}}+4\overrightarrow{\mbox{OC}})\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}=0$ …③
となり， $\mbox{OC}$ の中点を $\mbox{M}$ とすると③÷ $8$ は $\overrightarrow{\mbox{MB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}=0$ となり $\triangle\mbox{BOC}$ は $\rm BO=BC$ の2等辺三角形となり，同様に $\rm A，B$ を入れ換えて $\triangle\mbox{AOC}$ は $\rm AO=AC$ の2等辺三角形となる．

面 $\mbox{OAB}$ も含めて考えると， $\rm A\mapsto B\mapsto C\mapsto A$ の置換を2度行うことにより，結局
$\rm BO=BC$ ， $\rm AO=AC$ ，
$\rm CO=CA$ ， $\rm BO=BA$ ，
$\rm AO=AB$ ， $\rm CO=CB$
が成立するので四面体の6つの辺の長さが全て等しくなるので四面体 $\rm OABC$ は正四面体となる．