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2016年(平成28年)京都大学-数学(文系)[3]

2025.04.25記

[3] $n$ を4以上の自然数とする．数 $2$ ， $12$ ， $1331$ がすべて $n$ 進法で表記されているとして，

$2^{12}=1331$

が成り立っている．このとき $n$ はいくつか．十進法で答えよ．

2025.04.29記
$1331$ からパスカルの三角形を想起する．

[解答]
$n$ 進法の $2^{12}=1331$ は十進法では $2^{n+2}=(n+1)^3$ となる．

この右辺は偶数でなければならないので $n$ は奇数となる．よって $n=2m-1$ （ $m\geqq 3$ ）とおくと $2^{2m+1}=8m^3$ ，つまり $m^3=2^{2m-2}$ であるから $m=4^{\frac{m-1}{3}}$ が成立するが，この右辺は整数でなければならないので $m$ を3で割った余りは1となる．よって $m=3k+1$ とおくと $3k+1=4^k$ （ $k\geqq 1$ ）が成立する．

$a_k=4^k-3k-1$ とおくと， $a_1=0$ ， $a_{k+1}-a_k=3(4^k-1)\gt 0$ （ $k\geqq 1$ ）であるから $a_k=0$ となるのは $k=1$ に限り，このとき $m=4$ から $n=7$ となる．

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