https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2016/Bunkei

2025.04.25記

[1] $xy$ 平面内の領域

$x^2+y^2\leqq2$ ， $|x|\leqq1$

で，曲線 $C:y=x^3+x^2-x$ の上側にある部分の面積を求めよ．

2025.04.29記

[解答]
$f(x)=x^3+x^2-x$ とおくと
$\sqrt{2-x^2}-f(x)=-\dfrac{(x+1)(x-1)(x+2)}{\sqrt{2-x^2}+f(x)}$ （ $-\sqrt{2}\leqq x\leqq\sqrt{2}$ ）
であるから， $C$ と $x^2+y^2=2$ の交点は $(\pm 1，1)$ のみである．
$-1\leqq x\leqq 1$ で
$f(x)=(x+1)^2(x-1)+1\leqq 1\leqq\sqrt{2-x^2}$
であるから， $C$ と $x^2+y^2=2$ の位置関係は次図のようになる．

よって求める面積は
$\dfrac{\pi}{4}(\sqrt{2})^2-\dfrac{1}{2}(\sqrt{2})^2+\displaystyle\int_{-1}^1 (x+1)^2(1-x)\, dx$ $\dfrac{\pi}{2}-1+\dfrac{2!1!}{4!}\cdot 2^4$ $=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{3}$
となる．