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2015年(平成27年)京都大学-数学(理系)[5]

2025.05.10記

[5] $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ を正の実数として整式

$f(x)=ax^2+bx+c$

$g(x)=dx+e$

を考える．すべての正の整数 $n$ に対して $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ は整数であるとする．このとき， $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れることを示せ．

本問のテーマ

多項式は階差をとると次数が1つ下がる

2025.06.09記

[解答]
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=px+q+\dfrac{r}{dx+e}$ を満たす実数 $p，q，r$ が存在する．

$h(n)=\dfrac{f(n)}{g(n)}=pn+q+\dfrac{r}{dn+e}$ はすべての正の整数 $n$ に対して整数であるから $k(n)=h(n+1)-h(n)=p-\dfrac{rd}{g(n)g(n+1)}$ もすべての正の整数 $n$ に対して整数となり， $k(n+1)-k(n)=\dfrac{2rd^2}{g(n)g(n+1)g(n+2)}$ もすべての正の整数 $n$ に対して整数となる．

ここで $g(n)g(n+1)g(n+2)=d^3n^3+…$ は $n$ の3次式であるから， $r\neq 0$ とすると十分大きな $n$ に対して $0\lt \left|\dfrac{2rd^2}{g(n)g(n+1)g(n+2)}\right|\lt 1$ となるので $\dfrac{2rd^2}{g(n)g(n+1)g(n+2)}$ がすべての正の整数 $n$ に対して整数となることに反し，よって $r=0$ である．

よって $\dfrac{f(x)}{g(x)}=px+q$ となり $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる．

$r=0$ のとき $pn+q$ ， $p$ がすべての正の整数 $n$ に対して整数となるので， $p，q$ は整数となるが，これから例えば $\dfrac{a}{d}=p$ が整数というだけで， $a，d$ が整数とは限らない（例えば $a=d=\pi$ となることもありうる）．

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