https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2015/Rikei

2025.05.10記

[4] 一辺の長さが1の正四面体 $\mbox{ABCD}$ において， $\mbox{P}$ を辺 $\mbox{AB}$ の中点とし，点 $\mbox{Q}$ が辺 $\mbox{AC}$ 上を動くとする．このとき， $\cos\angle\mbox{PDQ}$ の最大値を求めよ．

本問のテーマ

等面四面体と直方体

2025.06.09記
等面四面体は直方体の中にはいるので座標を設定し易い．正四面体の一辺の長さは関係ない．

[解答]
$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ とし， $\mbox{D}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(0，a，a)$ ， $\mbox{B}(a，0，a)$ ， $\mbox{C}(a，a，0)$
とおくと $\mbox{P}\left(\dfrac{a}{2}，\dfrac{a}{2}，a\right)$ ， $\mbox{Q}\left(xa，a，(1-x)a\right)$ となるので，
$\cos\angle\mbox{PDQ}=\dfrac{\dfrac{3-x}{2}a^2}{\dfrac{\sqrt{6}}{2}a \cdot\sqrt{2-2x+2x^2}a}$ $=\dfrac{3-x}{2\sqrt{3}\sqrt{x^2-x+1}}$
となる． $0\leqq x\leqq 1$ により $\cos\angle\mbox{PDQ}\gt 0$ だから
$f(t)=\dfrac{(3-x)^2}{x^2-x+1}$ $=1+\dfrac{-5x+8}{x^2-x+1}$
の最大値を12で割ってルートをとれば良い．
$f'(t)=\dfrac{5x^2-16x+3}{(x^2-x+1)^2}$ $=\dfrac{(5x-1)(x-3)}{(x^2-x+1)^2}$ （ $0\lt t\lt 1$ ）
から増減表（略）により $x=\dfrac{1}{5}$ で $f(t)$ は最大値 $1+\dfrac{7\times 25}{21}=\dfrac{28}{3}$ をとる．

よって $\cos\angle\mbox{PDQ}$ の最大値は $\sqrt{\dfrac{28}{3\times 12}}$ $=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$ となる．