https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2015/Rikei

2025.05.10記

[3](1) $a$ を実数とするとき， $(a，0)$ を通り， $y=e^x+1$ に接する直線がただ1つ存在することを示せ．

(2) $a_1=1$ として， $n=1$ ， $2$ ， $\cdots$ について， $(a_n，0)$ を通り， $y=e^x+1$ に接する直線の接点の $x$ 座標を $a_{n+1}$ とする．このとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)$ を求めよ．

2025.06.09記

[解答]
(1) $y=e^x+1$ の $x=t$ における接線 $y=e^t(x-t)+e^t+1$ が $(a，0)$ を通るとき $a=t-1-e^{-t}$ が成立する． $f(t)=t-1-e^{-t}$ とすると $f'(t)=1+e^{-t}\gt 0$ が任意の実数 $t$ について成立し， $t\to \pm\infty$ で $f(t)\to \pm\infty$ （複号同順）であるから，実数 $a$ と実数 $t$ は一対一対応する．よって任意の実数 $a$ に対して接点，すなわち接点がただ1つ対応する．

(2) $a_n=a_{n+1}-1-e^{-a_{n+1}}$ が成立するので $a_{n+1}-a_n=1+e^{a_{n+1}}\gt 1$ となり $a_1=1$ から $a_n\geqq n$ が成立する．

よって $a_n\to+\infty$ （ $n\to\infty$ ）となり， $e^{-a_{n+1}}\to0$ （ $n\to\infty$ ）が成立するので
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+e^{-a_{n+1}})=1$
となる．