https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2015/Rikei

2025.05.10記

[2] 次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．

(a) 少なくとも2つの内角は ${90}^\circ$ である．

(b) 半径1の円が内接する．

ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の4つの辺すべてに接することをいう．

2025.06.09記

[解答]
(b) により半径1の円に外接する四角形を円の中心，円と辺の接点，四角形の頂点を結ぶ8つの直角3角形に分割することができ，このとき(a)から4つの直角三角形は斜辺が $\sqrt{2}$ の直角2等辺三角形となる．残りの4つの直角三角形（合同な2組の直角三角形）の円の中心における角度を $\alpha，\beta$ （ $0^{\circ}\lt\alpha，\beta\lt 90^{\circ}$ ）とすると $\alpha+\beta=90^{\circ}$ であり，よって四角形の面積 $S$ は
$S=2+\tan\alpha+\tan\beta=2+\tan\alpha+\dfrac{1}{\tan\alpha}$ $\geqq 2+2=4$ （∵ AM-GM 不等式）
となる．等号成立は $\alpha=45^{\circ}$ のときで，このとき8つの直角三角形は全て直角二等辺三角形となり，もとの四角形は一辺の長さが2の正方形となる．