https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2015/Rikei

2025.05.10記

[1] 2つの関数 $\displaystyle y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)$ と $y=\sin2x$ のグラフの $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の部分で囲まれる領域を， $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし， $x=0$ と $x=\dfrac{\pi}{2}$ は領域を囲む線とは考えない．

2025.06.09記
$\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\dfrac{1}{2}(\cos 2\beta-\cos 2\alpha)$ となる．

[解答]
$\displaystyle y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)$ と $y=\sin2x$ のグラフの $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ における交点の $x$ 座標は
$2x=x+\dfrac{\pi}{8}$ ， $2x=\pi-\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)$ から $x=\dfrac{\pi}{8}$ （ $p$ とおく）， $\dfrac{7\pi}{24}$ （ $p$ とおく）となる．よって求める体積は
$\pi\displaystyle\int_{p}^{q}\left\{\sin^2 2x -\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)\right\}\,dx$
$=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int_{p}^{q}\left\{\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos 4x \right\}\,dx$
$=\dfrac{\pi}{2}\Bigl[\dfrac{1}{2}\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{4}\sin 4x\Bigr]_p^q$
$=\dfrac{\pi}{8}\left( 2\sin\dfrac{5\pi}{6}-2-\sin\dfrac{7\pi}{6}+1\right)$ $=\dfrac{\pi}{16}$
となる．