2015年(平成27年)京都大学-数学(理系)

[1] 2つの関数 と のグラフの の部分で囲まれる領域を， 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし， と は領域を囲む線とは考えない．

[2] 次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．

(a) 少なくとも2つの内角は である．

(b) 半径1の円が内接する．

ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の4つの辺すべてに接することをいう．

[3](1) を実数とするとき， を通り， に接する直線がただ1つ存在することを示せ．

(2) として，，， について， を通り， に接する直線の接点の 座標を とする．このとき， を求めよ．

[4] 一辺の長さが1の正四面体 において， を辺 の中点とし，点 が辺 上を動くとする．このとき， の最大値を求めよ．

[5] ，，，， を正の実数として整式

を考える．すべての正の整数 に対して は整数であるとする．このとき， は で割り切れることを示せ．

[6] 2つの関数を

，

とおく． から始め，各 ，， について，それぞれ確率 で または と定める．このとき， となる確率 を求めよ．