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2015年(平成27年)京都大学-数学(文系)[5]

2025.05.10記

[5] a，b，c，d，e を正の有理数として整式

f(x)=ax^2+bx+c

g(x)=dx+e

を考える．すべての正の整数 n に対して \dfrac{f(n)}{g(n)} は整数であるとする．このとき，f(x) は g(x) で割り切れることを示せ．

2025.06.15記
2015年(平成27年)京都大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の実数が有理数になったもの．理系の解答の実数を有理数の置き換えても良いが，有理数はうまい整数を乗ずると整数となることを利用することができるので，それを用いた解答を考える．

[解答]
a:b:c:d:e を正の整数比にしたものを A:B:C:D:E とすると
\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{Ax^2+Bx+C}{Dx+E}=px+q+\dfrac{r}{Dx+E} を満たす有理数 p，q，r が存在する．ここで |p|，|q|，|r| の分母の最小公倍数を K とおくと
P=Kp，Q=Kq，R=Kr は整数となり，
K\cdot \dfrac{f(x)}{g(x)}=Pn+Q+\dfrac{R}{Dn+E}
は任意の自然数 n に対して整数（K の倍数）となる．

このとき，R は任意の自然数 n に対して Dn+E の倍数でなければならないが，D は正の整数であるから |R|\lt Dn+E を満たす自然数 n が必ず存在するので R=0 でなければならず，このとき \dfrac{f(x)}{g(x)}=px+q となるので f(x) は g(x) で割り切れる．

・多項式が割り切れるとき，商の係数は整数である必要はないが，本問の場合は p+q，2p+q が整数であることから商も係数も整数となる．



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