https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2015/Bunkei

2025.05.10記

[4] $xyz$ 空間の中で， $(0，0，1)$ を中心とする半径1の球面 $S$ を考える．点 $\mbox{Q}$ が $(0，0，2)$ 以外の $S$ 上の点を動くとき，点 $\mbox{Q}$ と点 $\mbox{P}(1，0，2)$ の2点を通る直線 $l$ と平面 $z=0$ との交点を $\mbox{R}$ とおく． $\mbox{R}$ の動く範囲を求め，図示せよ．

本問のテーマ

円錐曲面

2025.06.15記

[解答]
$\mbox{A}(0，0，1)$ とおくと， $\overrightarrow{\mbox{PA}}=(-1，0，-1)$ により $\mbox{AP}=\sqrt{2}$ であるから，
直線 $\mbox{PR}$ と $S$ が交わる必要十分条件は $\angle\mbox{APR}\leqq 45^{\circ}$ となること．よって $\mbox{R}(x，y，0)$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{PR}}=(x-1，y，-2)$ であるから
$\dfrac{3-x}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{(x-1)^2+y^2+4}}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ，
つまり
$x\leqq 3$ かつ $(3-x)^2\leqq (x-1)^2+y^2+4$
となることが必要十分．整理して
$x\leqq 1-\dfrac{y^2}{4}$ （ $x\leqq 3$ は満たされる）
となる．

頂角が $45^{\circ}$ の円錐面の軸 $\mbox{PA}$ が $xy$ 平面となす角度も $45^{\circ}$ だから，円錐面の母線に平行な平面の切り口放物線が境界となる．