https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2015/Bunkei

2025.05.10記

[3] 6個の点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ が下図のように長さ1の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率 $\dfrac{1}{2}$ で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点 $\mbox{A}$ から点 $\mbox{E}$ に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを $X$ とする．そのような経路がない場合は $X$ を $0$ とする．このとき， $n=0$ ， $2$ ， $4$ について， $X=n$ となる確率を求めよ．

2025.06.15記

[解答]
$\mbox{A-F-E}$ が通じる確率は $\dfrac{1}{4}$ ，
$\mbox{A-B}$ が通じる確率は $\dfrac{1}{2}$ ，
$\mbox{B-E}$ （直達）が通じる確率は $\dfrac{1}{2}$ ，
$\mbox{B-C-D-E}$ が通じる確率は $\dfrac{1}{8}$
である．

(i) $X=0$ となる確率について：
「 $\mbox{A-F-E}$ が通じない，かつ「 $\mbox{A-B}$ が通じない，または「 $\mbox{A-B}$ が通じるが， $\mbox{B-E}$ （直達）も $\mbox{B-C-D-E}$ も通じない」」」
であるから，
$\dfrac{3}{4}\cdot\left\{ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{7}{8}\right)\right\}$ $=\dfrac{69}{128}$
となる．

(ii) $X=2$ となる確率について：
「 $\mbox{A-F-E}$ が通じる，または「 $\mbox{A-F-E}$ が通じない，かつ $\mbox{A-B}$ と $\mbox{B-E}$ （直達）が通じる」」
であるから，
$\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{16}$
となる．

(ii) $X=4$ となる確率について：
「 $\mbox{A-F-E}$ が通じない，かつ $\mbox{B-E}$ （直達）が通じない，かつ $\mbox{A-B}$ が通じる，かつ $\mbox{B-C-D-E}$ が通じる」
であるから
$\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{128}$
となる．

地味に良い問題だ．