https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2015/Bunkei

2025.05.10記

[1] 直線 $y=px+q$ が， $y=x^2-x$ のグラフとは交わるが， $y=|x|+|x-1|+1$ のグラフとは交わらないような $(p，q)$ の範囲を図示し，その面積を求めよ．

2025.06.14記

[解答]
直線 $y=px+q$ が $y=x^2-x$ のグラフと交わる（共有点を持つ）条件は
$x^2-(p+1)x-q=0$ の判別式が非負，つまり
$q\geqq-\dfrac{1}{4}(p+1)^2$
である．また直線 $y=px+q$ が $y=|x|+|x-1|+1$ のグラフとは交わらない（共有点を持たない）条件は，
$-2\leqq p\leqq 2$ かつ「 $(0，2)$ ， $(1，2)$ が $y=px+q$ より上側にある」
ことであるから
「 $-2\leqq p\leqq 2$ かつ $q\leqq 2$ かつ $p+q\leqq 2$ 」
である．よって求める条件は

「 $q\geqq-\dfrac{1}{4}(p+1)^2$ かつ $-2\leqq p\leqq 2$ かつ $q\leqq 2$ かつ $p+q\leqq 2$ 」

となる（図示略）．その面積は
$\dfrac{2+4}{2}\times 2+\displaystyle\int_{-2}^2 \dfrac{1}{4}(p+1)^2 \, dp$ $=\dfrac{25}{3}$
となる．